巧用算术平方根的非负性求值

巧用算术平方根的非负性求值数学中的求值题类型颇多，下面例谈巧用算术平方根的非负性求值。例1已知：（1－2a）2+2b=0，求（ab）b的值。分析：清楚完全平方数和算术平方根的非负性是解这类题的关键。解：∵（1－2a）2≥0，2b≥0且（1－2a）2+2b=0∴1－2a=0，b－2=0∴a=21，b=2∴（ab）b=（21×2）2=1点评：若干个非负数的和为零，则它们分别为零例2已知3ba与5ba互为相反数，求a2+b2的值。分析：利用绝对值的非负性和算术平方根的非负性解题解：∵3ba与5ba互为相反数∴3ba+5ba=0又3ba≥0，5ba≥0∴a－b+3=0且a+b－5=0，解方程即可求得：a=1，b=4∴a2+b2=12+42=17点评：如果两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零例3若m＜0，n＜0，求2)1(m+（n）2的值分析：运用公式2a=a解题解：∵m＜0∴2)1(m=－m；∵n＜0，∴（n）2=－n∴2)1(m+（n）2=－m+（－n）=－m－n点评：2a=a中，注意a的取值范围。△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b满足1a+b2－4b+4=0，求c的取值范围。分析：要清楚完全平方数和算术平方根的非负性及三角形的性质。解：由1a+b2－4b+4=0，可得1a+（b－2）2=0∵1a≥0，（b－2）2≥0∴1a=0，（b－2）2=0∴a=1，b=2由三角形三边关系定理有：b－a＜c＜b+a即1＜c＜3点评：此处除用到算术平方根和完全平方数的非负性外，还利用了三角形边的关系。例5：已知实数，满足等式132yx+（x－2y+2）4=0，求2x－53y的平方根。分析：利用算术平方根的非负性及完全平方数的非负性解题。解：∵132yx≥0，（x－2y+2）4≥0且132yx+（x－2y+2）4=0∴2x－3y－1=0，x－2y+2=0解上二方程组成的方程组，得58yx∴2x－53y=2×8－53×5=13∴2x－53y的平方根为±13点评：已知等式中含有偶次根式要考滤被开方数大于等于零；含有偶次方幂要考滤偶次方幂大于等于零。算术平方根非负性之应用由算术平方根的意义可知，算术平方根a具有双重非负性：(1)被开方数是非负数；即a≥0(2)算术平方根a是非负数,即a≥0，算术平方根的非负性在解题中的应用极其广泛．下面略举几例说明之．一、利用a中a≥0解题例1、已知234422xxxy，则xy=__________解：由算术平方根的性质(1)得：x2－4≥0,4－x2≥0∴x2=4∵x－2≠0∴x=－2∴y=43∴xy=916)43(2二、利用a≥0解题例2、如果3)3(2xx，那么化简xx31的结果是()(A)－4(B)－2(C)2x－4(D)4－2x解：由算术平方根的性质(2)及已知得：x－3≥0,∴x≥3∴x－1＞03－x≤0∴原式=x－1+x－3=2x－4∴选C例3、已知0)25.0(822yx，则20092008yx=________解：由算术平方根的性质(2)及非负数的性质得：0)25.0(0822yx即025.0082yx∴25.04yx∴20092008yx=20082008)25.04()(yxy×0.25=0.25三、同时利用a≥0和a≥0解题例4、若2223xxxx，则x的取值范围是()(A)x≥0(B)x≤－2(C)0≤x≤2(D)－2≤x≤0解：由算术平方根的性质(1)得x+2≥0∴x≥－2由算术平方根的性质(2)得：2xx≥0且2x≥0∴－x≥0∴x≤0∴－2≤x≤0选D