模态分析理论基础

2014/12/181第1章模态分析理论基础1物理参数模型ODE(M、K、C)模态参数模型(特征对、模态参数)非参数模型H()、h()特征值问题本章研究内容§1.1引言讨论空间离散、时间连续系统的物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，即三种模型的理论建模问题。重点介绍：频响函数（传递函数）、脉冲响应函数及与模态参数的关系（频域法的理论基础）。坐标变换法——只适用于简谐激励的情形拉氏变换法——简明，适于一般激励情形本章研究方法具体步骤：强迫动力响应§1.2单自由度系统的振动2tjFetftjXex简谐激励稳态位移响应图1.2-1单自由度振动系统mCkft()xFXcjmk2意义：一是由此给出最基本的概念；二是单自由度系统的理论在单模态系统识别中可直接应用。一、粘性阻尼系统tfkxxcxm振动方程：(1.2-1)1.特征值问题与自由振动（略）2.频响函数（Frequencyresponsefunction,FRF）FHX(1.2-13)频响函数2014/12/1823频响函数与m,k,c有关，是反映系统固有特性的量，是以外激励频率为参变量的非参数模型。进一步定义:cjmkHHjFVjFAHVA222加速度频响函数(1.2-17)cjmkjHjFXjFVHV2速度频响函数(1.2-16)cjmkFXH21位移频响函数(1.2-14)频响函数的倒数称为阻抗，相应地，有位移阻抗、速度阻抗、加速度阻抗。3.脉冲响应函数（Impulseresponse,IR）振动系统在单位脉冲力作用下的自由响应称为单位脉冲响应函数，简称脉冲响应函数。冲量为1、作用时间无限短的瞬时力000ttt(1.2-19)(1.2-20)1dtt问题：频响函数的量纲？与m,k,c量纲的关系？4易证脉冲响应函数与频响函数是一对傅氏变换对。htmetdtd1sin脉冲响应函数：(1.2-22)结论：(1)脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，只不过频响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描述系统固有特性。因此，频响函数与脉冲响应函数都构成了系统的非参数模型，它们是进行系统识别的基础。(2)系统的自由响应（或相关函数）与脉冲响应函数只差一常数因子，故自由响应也可以作为非参数模型进行系统识别。粘性阻尼适于描述结构的外阻尼；有时结构的内阻尼占主要成分，故引入结构阻尼——主要来自于材料内阻和结合面阻尼。2014/12/1835二、结构阻尼系统1.结构阻尼模型：（Structuraldamping）实验指出，在简谐激励作用下，大多数金属结构（如钢和铝）内部阻尼每循环消耗的能量在一广泛频率范围内与频率无关，而与振幅的平方成正比：2XE引入两个无量纲量表示阻尼大小：根据能量等效原则（一个周期内等效粘性阻尼与结构阻尼耗散能量相等ΔW=ΔE），求得结构阻尼的等效粘性阻尼系数ce：UEr阻尼比容UE2损耗因子grkce2kce或注意与频率有关，非常数其中krkg2称为结构阻尼系数，具有刚度量纲。损耗因子常称为结构阻尼比。U——最大势能6tfkxxcxmxjXejxXextjtj,xkxgR则结构阻尼力(1.2-33)(1.2-34)xkjxjgR写成复数形式大小与位移成正比，方向与速度相反2.振动微分方程，复刚度tfxjgkxm结构阻尼系统振动方程(1.2-35)kjgjk1其中复刚度tfkxjxm1或(1.2-36)2014/12/1847通常不讨论结构阻尼振动系统的自由响应。事实上，上述结构阻尼模型是建立在稳态简谐激励、稳态简谐响应基础上的，故由式(1.2-35)或(1.2-36)求自由响应将无意义。然而，从数学角度来讲，可以分析式(1.2-35)或(1.2-36)对应的特征值问题。3.特征值问题4.频响函数5.结构阻尼与粘性阻尼的换算关系2在小阻尼下，可证kjmkH21易得(1.2-43)80其中频率比（无量纲频率）§1.3单自由度系统频响函数的各种表达形式及其特征一、结构阻尼系统A.频响函数的基本表达式：B.频响函数的极坐标表达式：jkjmkjmkH2202202111111(1.3-1)jeHH(1.3-2)22111kH(1.3-3)其中：幅频特性211tg(1.3-4)相频特性2014/12/1859单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征见表1.3-1。C.频响函数的直角坐标表达式（复数形式）：IRjHHH(1.3-5)2222111kHR其中：实频特性(1.3-6)22211kHI虚频特性(1.3-7)D.频响函数的矢量表达式：jHiHHIR(1.3-8)10表1.3-1单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征(a)幅频特性曲线|H()|0MBACOAB|H()|0√22D0固有频率AB半功率带宽：ABΔ相对半功率带宽：00ΔΔ结构阻尼比①极值点M（位移谐振点）：=1(=D=0)②半功率点A、B：A，B半功率带宽反映了阻尼大小2014/12/18611表1.3-1单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征（续）(b)相频特性曲线D0固有频率00ΔΔ结构阻尼比BOAMB--4-2-4A①拐点M（位移谐振点）：=1(=D=0)②半功率点A、B：A，B半功率带宽12表1.3-1单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征（续）(c)实频特性曲线D0固有频率00ΔΔ结构阻尼比|H()|02|H()|02ABHR()CAMOB-①零点M（位移谐振点）：=1(=D=0)②两个极值点A、B（半功率点）：A，B2014/12/18713表1.3-1单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征（续）(d)虚频特性曲线D0固有频率00ΔΔ结构阻尼比HI()A0BABMCO|H()|0-|H()|012①负极值点M（位移谐振点）：=1(=D=0)②半功率点A、B：A，B虚频曲线半功率带宽内的点较幅频曲线多，故用虚频曲线作参数识别较幅频曲线要好。14表1.3-1单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征（续）(e)Nyquist图（导纳圆）D0固有频率00ΔΔ结构阻尼比半功率点之间的曲线范围相当大，故常用Nyquist图做参数识别。HI()HR()A()AOC(=0)1()M()2()B()B1O0②半功率点A、B：A，B或由共振点M处两点1、2确定2t2t221012gg①位移谐振点M：=1(=D=0)不封闭的圆2014/12/18815表1.3-1单自由度结构阻尼系统频响函数各种图形及数字特征（续）(f)Bode图（对数幅频曲线）半功率点或半功率带宽不能有效反映出来，故不能由此识别阻尼比。D0固有频率Lg|()|HMM1DOC()k1lg但有几个概念在频域法多模态识别时用到：刚度线——低频段近似为一条水平直线质量线——高频段近似为一条斜率为–2的直线又称为基架线，其交点M1对应位移谐振点。①极值点M（位移谐振点）：=1(=D=0)16二、粘性阻尼系统频响特征A.频响函数的基本表达式B.频响函数的极坐标表达式（复指数形式）C.频响函数的直角坐标表达式（复数形式）D.频响函数的矢量表达式粘性阻尼系统位移频响函数具有如下特征：i.各种特性曲线不象结构阻尼系统那样具有较简单的特征；ii.粘性阻尼系统具有三种不相等的谐振频率：位移谐振频率D、阻尼谐振频率d和无阻尼谐振频率0，它们出现在各种曲线的不同特征点上，具有如下关系：iii.粘性阻尼系统的Nyquist图也不在是一个圆，而是一个近似桃形的图形。不过，在小阻尼情形下，使用Nyquist图作参数识别时仍可将其视为圆来处理。Dd02014/12/18917图1.3-1单自由度粘性阻尼系统频响函数各种图形及数字特征|()|H|()|HD|()|HD√22DMECOED0FFBOAMB--4-2-4A0BABMOHR()2|H()|D-2|H()|DACHI()A0BdMBD'AOLg|()|HMM1DOC()HI()HR()C(=0)A()AB()BD()DMD'()()0dO(a)幅频曲线(b)相频曲线(c)实频曲线(d)虚频曲线(e)Nyquist图(导纳圆)(f)Bode图(对数幅频曲线)18§1.4多自由度振动系统的实模态分析问题：多自由度振动系统与单自由度振动系统的本质区别是什么？一、无阻尼系统（保守系统）MxKxft(1.4-1)[M],[K]∈SRn×n[M]0,[K]≥01．自由振动多自由度系统有主振型的概念，而单自由度系统没有。一般地，n个自由度系统有n个主频率和n个主振型，以及n个模态阻尼。注意几个概念：主频率（模态频率、固有频率或无阻尼固有频率、阻尼固有频率）主振型（固有振型、模态）模态阻尼MxKx0(1.4-2)简单回顾，引入概念2014/12/181019(1)特征值问题tjex设特解广义特征值问题：02MK(1.4-4)特征值（固有频率）001020n特征矢量（振型、模态）Tniiii21i＝1,2,…，n(1.4-6)特征矢量矩阵（模态矩阵）n21(1.4-7)特征对特征方程：KM20(1.4-5)20（2）特征矢量的正交性易证，特征矢量关于[M]、[K]加权正交：模态质量（主质量）kimkiMiiTk0(i,k=1,2,…n)(1.4-9)kikkiKiiTk0(i,k=1,2,…n)(1.4-10)模态刚度（主刚度）02iiikm写成矩阵形式：iTmMdiag模态（主）质量矩阵iTkKdiag模态（主）刚度矩阵20diagi谱矩阵2014/12/181121（3）实模态坐标系中的自由响应n个线性无关的特征矢量{i}构成一n维线性空间——模态空间或模态坐标系。设物理坐标系中矢量{x}在模态坐标系中的模态坐标为yi（i=1,2,…，n），则有线性坐标变换（模态展开定理）：0diagdiagykymii代入自由振动方程并利用正交性yyxinii1(1.4-14)iiiiiiiiyyyyY0001202020tg,其中iiiitYy0sin模态坐标中的自由响应:(i=1,2,…,n)22（4）物理坐标系中的自由响应由模态展开定理，得物理坐标中的自由响应：如果系统以某阶固有频率振动，则振动规律（无阻尼系统的主振动）：因Yi是与初始条件有关的常量，则{Di}∝。可见，系统以某阶固有频率做自由振动时，振动形态{Di}与主振型完全相同。这就是主振型的物理意义。ii