行列式的定义和性质及若干应用论文

行列式及其在初等数学中的应用【摘要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一,它的应用非常广泛.本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述:探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用;举例说明了行列式在初等代数中的应用,如在因式分解中应用,证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】:行列式;矩阵;线性方程组;秩;因式分解;平面组;点组引言行列式是研究数学的重要工具之一.例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n维空间的投影变换、线性微分方程组等,用行列式来计算是很便利的.本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。1行列式的定义和性质1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。例1nnDn000000100200100计算行列式　.解：　nD不为零的项一般表示为！１ｎ－１naaaannnn1122,故!)1(2)2)(1(nDnnn1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。例2一个n阶行列式ijnaD的元素满足,,,2,1,,njiaajiij则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明：由　jiijaa知iiiiaa，即niaii,2,1,0.故行列式可表示为0000321323132231211312nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD　　,由行列式的性质'AA，0000)1(0000321323132231211312321323132231211312nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnD1.为奇数时，得当n,　nnDD因而得0nD.2行列式的若干应用2.1行列式在线性方程组中的一个应用设含有n个变元的1n个一次线性方程组为.0,0,0,122,111,122221211212211nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）设方程组（1）的系数矩阵A的秩是1n,不失一般性,假定不等于零的1n阶行列式是nnnnnnaaaaaaaaaA,13,12,122322113121.行列式1A中的元素,就是矩阵A中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它们的原有位置排列.我们把nxxx,,,32看作是未知数,1x是已知数,解方程组(1),得11Axdxii),,3,2(ni（2）式中id是行列式1d的第1i列元素换以1,12111,,,naaa所成的行列式.也就是nninninnnniiniiiaaaaaaaaaaaaaaaaaad,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312.把id中第1i列移到第一列,得nnininnnniiniiiiaaaaaaaaaaaaaaad,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(.上式右边的行列式用iA表示,行列式iA是矩阵A中去掉第i列剩余下的元素所组成.故iiiAd2)1(.代入（2）式,得112)1(AxAxiii,或111)1(AxAxiii.结论[2]:方程组（1）中的nxxx,,,21与nnAAAA1321)1(,,,,成比例,式中iA),,2,1(ni是从矩阵A中去掉第i列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.例3.1.1分解因式：323232323232baccbaacbbcaabccab.解:222222()()()abcbcbcacacabab原式()()()abcbccbabacabba111111caaabcbcacabbcb111010bcabcaabcabcabcabbccaacbacbcba()()()()abcabbcbaacbcca()()()()abcbacbacabca()()()abcabcabc.例3.1.2分解因式:))((4)(2dbcabcabcd.解:原式2()2()cdababbcbccdcdab22()(2)cdababcdbcbccdabcdbc1(2)2()1cdababcdbcbccd2(2)abcdbc.3.2用行列式证明不等式和恒等式我们知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上,行列式不变;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1已知0cba,求证abccba3333.证明：令abccbaD3333,则0000321acbbacacbbaccbacbacbaacbbaccbaDrrr.命题得证.例3.2.2已知,1,1,1aycxcybxbyax求证222cbacabcab.证明：令)(222cbacabcabD,则0000111111213cbacbacybxcbaycxacbyaxbacbacbaDycxcc命题得证.例3.2.3已知0cba,求证accbbacabcab333333.证明：令)(333333cabcabaccbbaD,则2131222222222222111100ccccabbccaabbcabcaabbcabcaabDcbacacbcacbc()()()()()()bcabcbcacbacac()()()()bcacabcac而0cba,则0D,命题得证.4．行列式在解析几何中的几个应用4.1用行列式表示公式4.1.1用行列式表示三角形面积以平面内三点),(),,(),,(332211yxRyxQyxP为顶点的PQR的面积S是11121332211yxyxyx(3)的绝对值.证明:将平面),(),,(),,(332211yxRyxQyxP三点扩充到三维空间,其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)xykxykxyk,其中k为任意常数.由此可得：2121(,,0)PQxxyy,3131(,,0)PRxxyy则21213131(0,0,)xxyyPQPRxxyyPQR面积为1sin,2SPQPRPQPR=12PQPR22121313112xxyyxxyy2121313112xxyyxxyy112121313111020xyxxyyxxyy11223311121xyxyxy.4.1.2用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11yxP和),(22yxQ的直线PQ的方程为01112211yxyxyx.（4）证明:由两点式,我们得直线PQ的方程为212212yyyyxxxx.将上式展开并化简,得021122121yxyxyxyxxyxy此式可进一步变形为0111122112121yxyxxxyyyx此式为行列式(4)按第三行展开所得结果.原式得证.4.1.3应用举例例:若直线l过平面上两个不同的已知点11(,)xy,22(,)xy,求直线方程.解:设直线l的方程为0cbyax,不全为0,因为点),(),,(2211yxyx在直线l上,则必须满足上述方程,从而有.0,0,02211cbyaxcbyaxcbyax这是一个以cba,,为未知量的齐次线性方程组,且cba,,不全为0,说明该齐次线性方程组有非零解.其系数行列式等于0,即01112211yxyxyx.则所求直线l的方程为01112211yxyxyx.同理,若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111zyxCzyxzyx,平面S过C,,,则平面S的方程为01111333222111zyxzyxzyxzyx.同理,若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211yxCyxyx,圆O过C,,,则圆O的方程为0111133232322222211212122yxyxyxyxyxyxyxyx.4.2行列式在平面几何中的一些应用4.2.1三线共点平面内三条互不平行的直线.0,0,0333322221111cybxaLcybxaLcybxaL相交于一点的充要条件是0333222111cbacbacba.4.2.2三点共线平面内三点),(),,(),,(332211yxRyxQyxP在一直线的充要条件是0111332211yxyxyx.4.2.3应用举例例:平面上给出三条不重合的直线:000333322221111cybxaLcybxaLcybxaL,若0333222111cbacbacba,则这三条直线不能组成三角形.证明：设1L与2L的交点为),(11yxP,因为1112223330abcabcabc,将第1列乘上1x,第2列乘上1y,全加到第3列上去,可得：1111111222121233313130abaxbycabaxbycabaxbyc.因为P在1L与2L上,所以111110axbyc,且112121231313220()abaxbycaxbycab11223331313000abababaxbyc若1111122220ababLabab与2L平行,若Pcybxa031313也在3L上321,,LLL交于一点,无论何种情形,都有321,,LLL不组成三角形.这说明由0333222111cbacbacba,得到三条直线或两两平行或三线交于一点.也就是三条直线不能组成三角形.4.3行列式在三维空间中的应用4.3.1平面组设由n个平面方程构成的方程组为.0,0,022221111nnnndzcybxadzcybxadzcybxa（5）若方程组(5)中的zyx,,各代以tztytx,,,并用)0(tt乘以(5)式两端:得.0,0,022221111tdzcybxatdzcybxatdzcybxannnn（6）),,,(tzyx叫做点),,(zyx的齐次坐标.这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵nnncbacbacbaA222111及nnnndcbadcbadcbaB22221111的秩