行列式毕业论文

目录中文摘要、关键词...................................................................11绪论..............................................................................22行列式计算技巧..........................................................32.1行列式的定义与性质.................................................32.1.1行列式的定义..................................................32.1.2行列式的性质..................................................32.2行列式的求解技巧...................................................42.2.1定义法.........................................................52.2.2化三角法.......................................................62.2.3按行（列）展开.................................................72.2.4递推法.........................................................92.2.5加边法.........................................................112.2.6拆项法........................................................132.2.7数学归纳法....................................................152.2.8范德蒙行列式..................................................172.2.9拉普拉斯法...........................................................183行列式的简单应用.......................................................193.1行列式在线性方程组中的应用........................................193.2行列式在初等代数中的应用................................................223.2.1用行列式分解因式.....................................................22结论......................................................................22参考文献..................................................................23英文摘要、关键词..........................................................241行列式的计算技巧摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.为了更快的算出行列式，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了9种计算行列式的常用方法，但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的，一个行列式可能有几种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好.在介绍了行列式的计算方法与技巧的同时，又介绍了行列式的简单应用.通过这一系列的方法加上应用进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助.关键词：行列式矩阵递推法加边法21绪论行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，同时，也提出行列式的概念与算法.1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件.1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer，1704～1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则.稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730～1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.在行列式的发展史上法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde，1735～1796)他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法.继范德蒙之后，1815年，柯西他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法，引进了行列式特征方程的术语，给出了相似行列式概念，改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等.继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(Jacobi，1804～1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式.对行列式理论研究始终不渝的作者之一还有詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester，1814～1894).他改进了从一个n次和一个m次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明.行列式的世界丰富多彩，各式各样.行列式是研究数学的重要工具之一，它适于各个领域的使用.例如：线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n维空间的投影变换、线性微分方程组等,用行列式来进行计算都是很便利的.32行列式的计算技巧行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳.作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法.这两种方法也经常一起使用，而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆项法等可以看成是它们衍生出的具体方法.2.1行列式的定义与性质2.1.1行列式的定义n阶行列式的“排列逆序”定义12121211121421222(...)12...12......(1)..................nnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa这里121212(...)12...(1)...nnnjjjjjnjjjjaaa表示对所有n级排列求和，故n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212...njjnjaaa的代数和，每一项的符号取决于组成该项的n个元素的列下标排列的逆序数（行下标按自然顺序排列），即当12njjj是偶排列时取正号，当12njjj是奇排列时取负号.2.1.2行列式的性质性质1行列互换.行列式不变，即111212122212.....................nnnnnnaaaaaaaaa=112111222212.....................nnnnnnaaaaaaaaa性质2一数乘行列式的一行（或列）等于用这个数乘该行列式，即4111211112112121212..................................................................nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakakaaaaaaaaa推论若行列式中一行（或列）为零，则行列式为零.性质3如果行列式中某一行（或列）的所有元素均为两项之和，则该行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的此行（或列）的元素分别为此行（或列）的两个加数之一，其余各行（或列）的元素与原行列式相同.性质4如果行列式中有两行（或列）相同，那么行列式为零.性质5如果行列式中有两行（或列）成比例，那么行列式为零.性质6把一行（或列）的倍数加到另一行（或列），那么行列式不变.性质7互换行列式中两行（或列）的位置，行列式反号.性质8行列式按某一行（或列）展开等于该行（或列）的所有元素分别与它们所对应的代数余子式乘积之和.性质9行列式的任何一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和必为零，即1122...0ijijinjnaAaAaA（ij）1122...0klklnknlaAaAaA（kl）的乘积之和，即111211212.................................niiinnnnnaaaaaaaaa=1122...iiiiininaAaAaA2.2行列式的解题技巧《高等代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程.行列式的计算是高等代数中的难点、重点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握.计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解.本章就针对行列式的特点给出多种计算行列式的方法.52.2.1定义法用定义计算行列式是最基本的方法.例1计算n级行列式0000000000000ababDaba解：按定义，ni表示行指标，nj表示列指标，易见此行列式中零元素较多，元素a行指标为一个自然排列，列指标121,2,,njjjn，也是自然排列，而元素b行指标12,1,,1niniin，不是自然排列，列指标是一个自然排列，所以得1(1)nnnDab.例2计算行列式D=00...01000...200...................20040...00000...002005解：按定义，ni表示行指标，nj表示列指标，为求D的值，只需求出D中所有非零项.D中第一行的非零元素只有1,2004a，因而1j=2004，同理2j=2003，3j=2002，...，2004j=1，2005j=2005.于是1220042005jjjj在可能取的数据中，1220042005jjjj只能组成一个2005个元素的排列：2004，2003，2002，3，2，1，2005，而此排列的逆序数为(1)2004(20041)20042003222nnt为偶数，故D=2004200321,20042,20032004,12005,2005(1)...(1)123...200420052005!taaaa由以上例子可以看出，若计算阶数较低(不超过三阶)的行列式及上三角(下三角)行列式运用定义法较为简单，但若是高阶非上(下)三角型的行列式按定义法计算比较繁琐.因此，我们必须寻求其它的，让计算变得简洁的计算方法.62.2.2化三角法运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式，我总结了以下利用行列式的性质计