射影变换

第二章射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究.§2.1交比一、点列中四点的交比1、定义交比—最根本的射影不变量定义2.1.设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1≠P2，其齐次坐标依次为a,b,a+λ1b,a+λ2b.则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比.定义为.),(214321PPPP(2.1)称P1,P2为基点对，P3,P4为分点对.定理2.1.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4).则.))(())((),(413242314321PPPP(2.2)证明定理2.1.以P1,P2,为基点，参数表示P3,P4.设.))(())((),(413242314321PPPPa+λ1b=a',a+λ2b=b'.从中解出a,b,得.'',''121212abbbaa于是，P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即'','',','1214124212131232bababa'.','',','42143213bababa由交比的定义，有注：定理2.1可以作为交比的一般定义.(2.2)§2.1交比一、点列中四点的交比1、定义.),(413242314321PPPPPPPPPPPP2、性质(1).交比的初等几何意义如果限于欧氏平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即(2.3)))(())((),(413242314321PPPP§2.1交比例1.设1,2,3,4,5,6是6个不同的有穷远共线点.证明(1)(12,34)(12,45)(12,53)=1;(2)(12,34)(12,56)=(12,36)(12,54).132414251523(1)(12,34)(12,45)(12,53)1.2314241525131324152613261524(2).(12,34)(12,56)(12,36)(12,54)2314251623162514一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比的初等几何意义(2).交比的组合性质定理2.2设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：(1).1(2).1.rrrrrr换两对不变两对同换换一对改变换中间或首尾推论由定理2.2，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：.1,11,1;11,1,rrrrrrr此即P.45,式(2.4).不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！§2.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况定理2.3共线四点的交比值出现0,1,∞三者之一这四点中有某二点相同.证明可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1进行验证即可.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,∞.4、调和比定义若(P1P2,P3P4)=–1,则称推论1若(P1P2,P3P4)=–1,则此四点互异.推论2相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：.2,21,1§2.1交比点组P1,P2,P3,P4为调和点组(列)点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭点P4为P1,P2,P3的第四调和点一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=–1,利用初等几何意义，我们有.1),(414232314321PPPPPPPPPPPP此时,若,4PP则可合理地认为.112PPPP于是.13231PPPP这表示P3为P1P2的中点，从而有推论3设P1,P2,P为共线的通常点.P∞为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点.1),(21PPPP注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线的平行性间的联系§2.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比§2.1交比例2.设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点.证明：若(12,34)=(14,32),则(13,24)=-1.(12,34)r(14,32)1rr由题设1rrr22rr已知四点相异0r2r(13,24)11.r一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比例3已知P1(3,1,1),P2(7,5,1),Q1(6,4,1),Q2(9,7,1).求(P1P2,Q1Q2).解第一步.验证四点共线.第二步.以P1,P2为基点,参数表示Q1,Q2.令.21PPQiiii=1,2.对于i=1,利用P.17例1.3,有.31同理,对于i=2,可求得.32于是，.1),(212121QQPP§2.1交比此步不可省！若不共线则交比无定义！一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比(2).由交比求坐标定理2.4设),4,3,2,1()(iPlPi并已知).,1,0(),(4321kkPPPP和其中三点的坐标.则第四点的坐标可唯一确定.例4已知(P1P2,P3P4)=2,P1,P2,P4的坐标依次为(1,1,1),(1,–1,1),(1,0,1).求P3的坐标.解：设.,22142113PPPPPP则显然,12由.21),(1214321PPPP可得,21从而P3的坐标为(3,–1,3).§2.1交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比(2).由交比求坐标例4已知P1,P2分别是x轴、y轴上的无穷远点,P3是斜率为1的方向上的无穷远点,且(P1P2,P3P4)=r.求P4的坐标.解：由题设知P1,P2,P3的坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0).设.,22142113PPPPPP则显然11,由11234221(,).PPPPr可得21/,r从而P4的坐标为(r,1,0).§2.1交比注：若要求P1,或P2的坐标,则需先据交比性质交换点的位置,使得交换后第1,2位置为已知点,再计算.一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1).由坐标求交比(2).由交比求坐标推论4设*10,,PPP为点列l(P)中取定的相异三点.则xPPPP),(10*为点列l(P)与R之间的一个双射.其中*0101PPxPPxPPx无穷远点分别相当于拓广直线上的原点单位点从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标.§2.1交比一、点列中四点的交比例5(P.47,例2.3)一直线依次交三点形P1P2P3的三边P2P3,P3P1,P1P2于Q1,Q2,Q3.在此三边上另取点Q1',Q2',Q3',使.),(,),(,),(33'32122'21311'132kQQPPkQQPPkQQPP求证：.1,,).1(321'3'2'1kkkQQQ共线.1,,).2(321'33'22'11kkkQPQPQP共点§2.1交比任务：请自学，并认真研究、体会.注3：由本例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何中的两个著名定理：Menelaus定理、Ceva定理.本例：§1.2齐次坐标的5对结论、对偶原则、交比的性质与计算综合性演习.注1：注2：一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示设a,b为线束S(p)中取定的相异二直线.则对于任意的p∈S(p),其坐标可表示为.Rba称a,b为基线,λ为参数.注1这里a,b,p均表示直线的齐次坐标.参数λ的几何意义？不易说清楚！容易看出λ=0↔a;λ=1↔a+b;λ=∞↔b注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比.课件作者：南京师大数科院周兴和§2.1交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示定义2.3设p1,p2,p3,p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐次坐标依次为a,b,a+λ1b,a+λ2b.则记(p1p2,p3p4)表示这四直线构成的一个交比.定义为.),(214321pppp(2.5)称p1,p2为基线偶，p3,p4为分线偶.定理2.5设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4).则.))(())((),(413242314321pppp(2.6)2、定义注上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构.§2.1交比今日作业P.53:1;4再见！课件作者：南师大数科院周兴和§2.1交比