积分求导顺序可换

§2含参量反常积分含参量反常积分的定义、1敛的定义含参量反常积分一致收、2敛的判别方法含参量反常积分一致收、3本节研究形如adxyxf),(的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。)(,),(为瑕点bdxyxfba含参量反常积分的定义、1设是定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分ycbxayxR,),(],[bax),(yxfcdyyxf),(],[,),()(baxdyyxfxIcx都收敛,则它的值是在区间上取值的函数,表为],[ba称为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或x],[ba简称为含参量反常积分.敛的定义含参量反常积分一致收、2对于含参量反常积分和函数)(xIcdyyxf),(都有若],,[,,0,0baxNMN,),(Mdyyxf则称含参量反常积分在上一致收敛于.)(xIcdyyxf),(],[ba敛的判别方法含参量反常积分一致收、3一致收敛的柯西准则:含参量反常积分在上一致收敛的充要cdyyxf),(],[ba都有条件是],,[,,,,021baxMAAcM.),(21AAdyyxf一致收敛的充要条件;含参量反常积分在上一致收敛的充要cdyyxf),(],[ba],[ba11)(),(1nnnAAxudyyxfnn条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数在一致收敛.nAcA1魏尔斯特拉斯M判别法:设有函数,使得)(yg.,),(),(ycbxaygyxf，dyygc收敛若)(.],[),(上一致收敛在则badyyxfc魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若|(,)|(),,fxygyaxbcy[,]xab一致收敛。证明(,)|(,)|()AAAAAAfxydyfxydygydy()cgydy因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于(,)cfxydy()cgydy000,,,,|()|AAAcAAAgydy从而[,]xab(,)()AAAAfxydygydy所以关于[,]xab一致收敛。(,)cfxydy魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法若dycxaxFyxf,),(|),(|],[dcy一致收敛。证明AAAAAAdxxFdxyxfdxyxf)(|),(|),(adxxF)(因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且收敛，则关于adxyxf),(adxxF)(|)(|,,,,000AAdxxFAAAaA从而],[dcyAAAAdxxFdxyxf)(),(所以关于],[dcy一致收敛。adxyxf),(例1在内一致收敛0sindxxex)0(),[00解因为xxexe0|sin|而积分收敛，00dxex所以在内一致收敛0sindxxex)0(),[00.],[上一致收敛在ba，上一致有界含参量反常积分若,)(cNiNcdyyxf),(],[bax在对参数则含参量反常积分一致地收敛于对参量,0),(,yxgx时是单调递减且当关于函数yyxgbaxii)(],,[)(cdyyxgyxf),(),(狄利克雷判别法;阿贝耳判别法:;],[),()(上一致收敛在若badyyxfic,),(],,[)(x，yyxgbaxii且对参量的单调函数为函数则含参量反常积分上一致有界在，bayxg],[),(cdyyxgyxf),(),(.],[上一致收敛在ba二、一致收敛积分的性质1.连续性定理因为在内一致收敛，所以adxyxf),(],[dc证明|),(|],,[,,,000AdxyxfdcyAAaA因此，当时，],[dcyAdxyyxf),(设在上连续，关于在上一致收敛，则一元函数在上连续。),(yxf},|),{(dycxayxy],[dcadxyxfyI),()(],[dcadxyxf),(又在上连续，所以作为的函数在连续，于是),(yxf],;,[dcAaAadxyxf),(y],[dc,||,0,0时当yAaAadxyxfdxyyxf),(),(从而，当时，有||y3),(),(),(),(|)()(|AAAaAadxyxfdxyyxfdxyxfdxyyxfyIyyI定理证毕。2.积分顺序交换定理adcdcadyyxfdxdxyxfdy),(),(设在上连续，关于在上一致收敛，则在可积，并且),(yxf],;,[dcay],[dcadxyxf),(adxyxfyI),()(],[dc3.积分号下求导的定理aadxyxfydxyxfdyd),(),(设在上连续，收敛，关于在上一致收敛，则),(),,(yxfyxfy],;,[dcay],[dcadxyxf),(aydxyxf),(adxyxfyI),()(在可导，且],[dc证明aydxyxfy),()(因为在连续，由连续性定理),(yxfy],;,[dca在连续，],[dc沿区间积分，由积分顺序交换定理，得到)(],[dycyc)(yaaaycyycayycdxcxfdxyxfduuxfdxdxuxfduduu),(),(),(),()(adxyxfdydy),()(在上式两端对求导，得y定理证毕。含参量反常积分的性质:注•连续性含参量反常积分上连续在设，cbayxf),[],[),(cdyyxfxI),()(.],[)(,],[上连续在则上一致收敛在baxIba极限运算在一致收敛的条件下连续性定理说明，，.换顺序与积分运算可以可以交.),(lim),(),(lim000dyyxfdyyxfdyyxfcxxccxx即:•可微性若上连续在区域与设，cbayxfyxfx),[],[),(),(,],[上收敛在bacdyyxfxI),()(且上可微在则致收敛，baxI],[)(,cxdyyxf),(上一在],[ba.),()('cxdyyxfxI:注可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即.),(),(dyyxfxdyyxfdxdcc:注•可积性若上连续在区域设，cbayxf),[],[),(cdyyxfxI),()(且上可积在则上一致收敛在，baxIba],[)(,],[baccbadxyxfdydyyxfdx.),(),(若上连续在设，cayxf),[],[),(,],[),()(上一致收敛任何闭区间在关于dcydxyxfic;],[),(上一致收敛任何闭区间在关于baxdyyxfc.),(),()(中有一个收敛与积分dxyxfdydyyxfdxiicaac且则另一个也收敛,accadxyxfdydyyxfdx.),(),(:1例含参量反常积分在上一致收敛.),(dxxxy021cos:证,111cos22xxxyRy有由于收敛而反常积分021xdx判别法知故有魏尔斯特拉斯M证明反常积分在上一致收敛.),(dxxxy021cos:2例证明含参量反常积分dxxxexy0sin],0[d在上一致收敛.:证收敛由于反常积分dxxx0sin)],0[,(上一致收敛它在对于参量当然dy，单调且对任何对每个函数],0[),(dxeyxgxy.1),(0,0xyeyxgxdy都有含参量反常积分由阿贝耳判别法知，dxxxexy0sin],0[d在上一致收敛.:3例证明含参量反常积分dxeux02),[a在上一致收敛.)0(a:证.),,[22axuxeeau有收敛而无穷积分02dxeax判别法知故有魏尔斯特拉斯M含参量反常积分dxeux02),[a在上一致收敛.)0(a（1）1sin2ydxeyx关于),0[y一致收敛；例4证明（2）1sin2ydyeyx关于),0[x不一致收敛.证（1）用分段处理的方法.1A，0y，令txy得|sin|2Ayxydxe|sin|2Aytdteyy02|sin|dteyyt|sin|2yy因为0sinlim0yyy则0，0，当y0时，有|sin|2Ayxydxesin||(1)2yy22|sin|yxxeyey又而12dxex收敛，由M判别法，1sin2ydxeyx在),[y一致收敛，即0，10A，0AA，有2|sin|2yxAeydxy，（）上式对0y显然成立，结合（1）（2）式，有|sin|2Ayxydxe),0[y即1sin2ydxeyx关于),0[y一致收敛.（2）因为0x时，1sinydy发散，因此1sin2ydyeyx关于),0[x不可能一致收敛.例4计算积分0),0(,sinsinabpdxxaxbxeIpx解00sinsincosbpxpxabxaxIedxexydyxsinsincosbabxaxxydyx0cosbpxadxexydy220cosbbpxaapdyexydxdypyarctanarctanbapp例5利用积分号下求导求积分012)()(nnaxdxaI（n为正整数，0a）解因为10212)(1)(1nnaxax00aa而0102)(naxdx收敛，故012)()(nnaxdxaI在00aa一致收敛。因为aaxaaxdx2arctan1|002故02axdxdad022)(axdx2/3)21(2a0222axdxdad032)(2axdx2/5)23)(21(2a由数学归纳法易证02axdxdadnn012)(!)1(nnaxdxn2122!)!12()1(2nnnan于是012)()(nnaxdxaI212!)!2(!)!12(2nann例6计算积分0)(222dxexax解0)(222dxexax02)(2dxeaxax0)(22dxeexaxa令txaxdtet202)()1(2dxxaexax0)(2xadexax0)(2dxexax在第二项积分中令yxa得0)(2xadexax0)(2dyeyay故0)(222dxexax0)(22dxeexaxaae2222-t0taeed小结、5(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的判别;•一致收敛的柯西准则:•