求不定积分的几种基本方法

§5.2求不定积分的几种基本方法一、第一类换元法（凑微分法）.上一页目录下一页退出先看下例：例1求解设则3cosd.xx32cosdcoscosdxxxxxsin,ux3231cosd(1)d3xxuuuuC22cosdsin(1sin)dsinxxxx31sinsin.3xxC()d(),fuuFuC一般地，如果()Fu是()fu的一个原函数，则而如果u又是另一个变量x的函数,ux且x可微，那么根据复合函数的微分法，有ddd.Fxfxxfxxx由此得ddfxxxfxx=d.FxFxC(),Fu是具有原函数()fuuxdddgxxfxxxfxxd()duxfxxxfuu于是有如下定理：定理1设可导，则有换元公式().uxFuC（5-2）由此可见，一般地，如果积分dgxx不能直接利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式dgxx能表示为的形式，且()dfuu较易计算，那么可令,uxgxd()d.uxfxxfuu代入后有2cos2d.xxddgxxfxxx这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法.由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分因子dd,xxx因此第一类换元法也称为凑微分法.例2求解2cos2dcos22dxxxxxcosdsin.uuuC2ux再以代入，即得1d.23xx例3求解被积函数123x可看成1u与23ux构成的复合函数，虽没有2u这个因子，但我们可以凑出这个因子：111112(23)23223223xxxx，如果令23ux便有2cos2dsin2.xxxC，111d(23)d23223xxxxx11lnln23.22uCxC一般地，对于积分()dfaxbx总可以作变量代换uaxb，把它化为1()d()d()faxbxfaxbaxba1111d(23)d2232xuxu()1()d.uxfuua，22211d1(1)d2xxxxxx3211d23uuuC例4求21d.xxx解令21,ux则2211d(1)2xx3221(1).3xC，例5求2d.xxex解令2ux,则d2duxx,有2211d(2)dd22xxuxexexxeu凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤．211.22uxeCeC例7求例6求221dxax解2222d()1ddarcsin.1()1()xxxaxCaxxaxaaa).0(a221d.xax解2222111dd1()xxxaxaa2111d()arctan.1()xxCxaaaaa解1d()1d()22axaxaaxaax11lnln22axaxCaa例8求221d(0).xaax221111d()d2xxaxaaxax1ln.2axCaax例9求tand.xx解sindcostanddcoscosxxxxxxx类似地可得cotdlnsin.xxxClncos.xC例10求2sind.xx解21cos2sindd2xxxx11sin2.24xxC11cos2d(2)24xxx例11求cscd.xx解21sincscdddsinsinxxxxxxx类似地可得211cosdsin2.24xxxxC2dcos11coslncos-121cosxxCxxlntan.2xC类似地可得secdlnsectan.xxxxC例12求d.xexx解d2d2.xxxexexeCx例13求4secd.xx解422secdsecdtan(1tan)dtanxxxxxx31tantan.3xxC第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:1dd();xaxba11dd(1);1xxx(1)(2)(3)(4)1ddln;xxx1dd;lnxxaxaa(5)(6)(7)(8)sinddcos;xxxcosddsin;xxx2secddtan;xxx2cscddcot;xxx21ddarcsin;1xxx21ddarctan.1xxx(9)(10)二、第二类换元法第一类换元法是通过变量代换()ux，将积分(())()dfxxx化为积分()dfuu．第二类换元法是通过变量代换()xt，将积分()dfxx化为积分(())()d.fttt在求出后一个积分后,再以()xt反函数1()tx代回去,这样换元积分公式可表示为:1()()d(())()dtxfxxfttt上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边的不定积分要存在，即被积函数的(())()ftt有原函数；其次,()xt的反函数1()tx要存在.我们有下面的定理．定理2设函数()fx连续,()xt单调、可导，并且()0t，则有换元公式1()()d(())()dtxfxxfttt(5-3)下面举例说明公式(5-3)的应用．例14求3d.11xx解遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换元将被积函数有理化，然后再积分．令31xt,则321,d3dxtxtt，故223d3d113d1111xttttttx23333(1)313ln11.2xxxC213(1)d3(ln1)12tttttCt例15求1d.1exx解令1ext，则222ln(1),dd1txtxtt,则有2d12d11xxtte22d(0).axxa例16求解为使被积函数有理化．利用三角公式22sincos1tt令sin,(,),22xatt则它是t的单调可导函数，具有反函数arcsinxta,且22cos,dcosd,axatxatt11e1lnln.11e1xxtCCt因而2222dcoscosdcosdaxxatattatt2221(sin2)sincos2222aaattCtttC2221arcsin.22axxaxCa例17求221d(0).xaax解令tan,(,),22xatt则222sec,dsecd,xaatxatt于是2221secddsecdsecattxttatax21cos2d2tat1lnsectanttC221lnxaxCaa22ln.xaxC其中1ln.CCa例18求221d(0).xaxa解被积函数的定义域为(,)(,)aa,令sec,(0,)2xatt，这时22tan,xaat故221sectanddsecdtanatttxttatxa1lnsectanttCdsectandxattt22221lnln,xxaCxxaCaa其中1lnCCa,当(,)xa时,可令sec,xat类似地可得到相同形式的结果．以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式．一般地，若被积函数中含有22ax时，可作代换sinxat(,),2t或cosxat；含有22xa时，可作代换tanxat；含有22xa时，可作代换sec.xat利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换即1xt等．例19求2d.1xxx解令1xt,则21dd,xtt因此22dd.11ttxxxtt当1x时，01t,有22d1d11xtxxt1arcsinarcsin;tCCx1x10t当时，有22d11darcsinarcsin.11xttCCxxxt综合起来，得2d1arcsin.1xCxxx在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中常数a＞0).tandlncosxxxCcotdlnsinxxxC(14)(15)(16)(17)(18)secdlnsectanxxxxCcscdlncsccotxxxxC22d1arctanxxCaxaa22d1ln||2xxaCxaaxa22darcsinxxCaax(19)(20)(21)2222dln().xxxaCxa例20求2d.23xxx解222d1d(1),23(1)(2)xxxxx利用公式(18)，可得2d11arctan.2322xxCxx例21求2d.49xx解222d1d(2).249(2)3xxxx利用公式(21)，可得22d1ln(249).249xxxCx三分部积分法.上一页目录下一页退出一、分部积分公式的推导思考：d?xxex诸如此类的不定积分，用换元积分法都不能求解．特点：被积函数是两种不同类型的函数的乘积.需要用到求不定积分的另一种基本方法――分部积分法．设函数()uux及()vvx具有连续导数．那么，(),uvuvuv移项，得().uvuvuvsind?,lnd?xxxxxx对这个等式两边求不定积分，得dd.uvxuvuvx（5-4）公式（5-4）称为分部积分公式.如果积分duvx不易求,而积分duvx比较容易时,分部积分公式就可用了.为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式:dd.uvuvvu（5-5）现在通过例子说明如何运用这个重要公式.例22求sind.xxx解由于被积函数sinxx是两个函数的乘积,选其中一,u那么另一个即为,v如果选择,uxsin,vx则个为ddcos,vx得如果选择sin,,uxvx则21dd(),2vx得21sindsind()2xxxxx2211sincosd22xxxxxsinddcoscoscosdxxxxxxxxxcossin.xxxC2211sindsin22xxxx上式右端的积分比原积分更不容易求出．由此可见，如果u和dv选取不当，就求不出结果．所以应用分部积分法时，恰当选取udv和是关键，dvu一般以比duv易求出为原则．例23求2d.xxex解2222dddxxxxxexxexeex222d22dxxxxxxexexexeex222.xxxxexeeC22dxxxexex例24求2secd.xxx解由上面的三个例子知道，如果被积函数是指数为正整数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并选择幂函数为.u经过一次积分，就可以使幂函数的次数降低一次．例25求arctand.xxx解2211arctandarctan22