抛物线的几何性质

定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py一、温故知新1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是()A.圆B.抛物线C.线段D.直线练习解析:(3,5)点在直线2x+3y-21=0上,所以到(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线.D抛物线的几何性质标准方程图形焦点准线)0,2(p)2,0(p)2,0(p)0,2(p2px2px2py2py)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx0x0x0y0y轴x轴x轴y轴y)0,0()0,0()0,0()0,0(1e1e1e1exyoFxyoFxyoFxyoF范围对称轴顶点离心率探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)845补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）0020202020122222322422,.(),||;(),||-(),||(),||-PxypypxPFxpypxPFxpxpyPFypxpyPFy抛物线上一点与焦点的连线叫抛物线的焦半径抛物线的焦半径2212225(),_________.(),,____:.yxPPyxABAB抛物线上一点到焦点的距离为则点的坐标标为抛物线上两点到焦点的距离之和是则线段中点横坐标是例17742:,P答案2.:答案2112212203,,,.|):|.(ypxpFlAxyBxyABxxp已知过抛物线的焦点的直线交抛物例线于两抛物线的焦点弦问题问:点题1求证121222:()()ABAFBFppxxxxp解112221221221221212223242,,,,,(),||;(),||(),||(),||AxyBxyypxABxxpypxABpxxxpyAByypxpyABpyy抛物线的焦点弦过抛物线焦点的弦叫焦点弦设焦点弦端点则KFOxyAB2124,,,..yxABAB斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于两点求线段的长例211221212221212121211610611148222628:,:(,),(,),,,||():||()()AByxxxAxyBxyxxxxABxxxxppABxxxxp解法直线的方程为代入双曲线方程得设则解法21122220322.(),,,.,.si:nypxpFlAxyBxyplAB已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两例抛物线的焦点弦问题问题点若的倾斜角为则222121212222222221202112121:,,,:()tan,,tan:,tan,,tan()tantansinABpABpyplyxxypyppyypyypAByyp解若则此时为抛物线的通径结论得证若设直线的方程为即代入抛物线方程得211222303,,,..,.():ypxpFlAxyBxy例抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点焦点弦中通题径最短问2222221221223:sinsin,sin,:;,;.:pABppABpp解由问题知:的最小值为即通径最短.通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通径的性最短的质2112222121234204.(),,,.:.:,ypxpFlAxyBxypxxyyp例抛物线的焦点弦问题问题已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证212221212221212222244:,,,()yypyyxxppyyPxxP解由问题的解法知:211222305,,,..)::(ypxpFlAxyBxyAB已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证例抛物以为直线的焦径的圆点弦与问题问题准线相切111111222:,,,,,,,.ABMABMABMAABBAFBFABMM解设的中点为过分别作准线的垂线垂足分别为则结论得证211222011236,,,.:.():ypxpFlAxyBxyFAFBp已知过抛物线的焦点的直线交例抛物线于两抛物线的焦点弦问题题点问求证222222111111111222220411112:,,,,,cos,coscoscos,,.:,,(),,()ABxRSlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpykxlkypxkpkxpkxpFAFBxx解法过作轴的垂线垂足分别为直线的倾斜角为同理解法若直线的斜率不存在结论显然成立若直线的斜率存设为则222pp•课后拓展2112211113720,,,.,,,,..():ypxpFlAxyBxyABABAFBF已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点过分别作准例抛物线的焦点线的垂弦问题问题线垂足分别为则1111111111111190:,//,,,.AAAFAAFAFAAAOFAAFAFOAFOAFABFOBFBAFBAFBF解同理2112211111121111112221113820123454,,,.,.(,,,,,,();();();(),,,,,;().):ypxpFlAxyBxyABMABMABMAMBMABMFMFAFBFAMAFHBMBFQMQFHAMMBMM已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点设的中点为过分别作准线的垂线垂足分别为则设与交于与交例于则四点共圆抛物线的焦点弦问题问题11111111111111111111111111211111111290903490:(),.(),,,,,,,;();(),,MABAMBMAFBMABAMMFMFAMAFAAFAFAAAFFAMAAMAFAAFMMFABMFAFBFAMBMAMBAFBFAFB解在以为直径的圆上为直角三角形是斜边的中点又11222211222111190524,,,,;()MQFHAMMBABAFBFAABBMMMM四点共圆2112211111120123439,,,.(),,;(),,;(),;(),.(;):ypxpFlAxyBxyAOBBOAAOBBBxBOAAAx已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点三点共线三点共线设直线与准线交于则平行轴设直例抛物线的焦点弦问题线与准线交于则平行题轴问11112221112212221222222234:,,,,,,.(),(),().oAoBoAoByyyypkkpyxyppypyypkkppyAOB解而三点共线同理可证21122312011120,,,.,.():,.||||ypxpFlAxyBxyCDFCDABABCDp已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点若是过的抛物线的另例抛物线的焦点弦问题问题一条弦且则022022222901112:,,:,sin,sin()cos||||ABCDpABppCDABCDp解直线CD的倾斜角为90+由问题的结论211222203211,,,..sin.():AOBypxpFlAxyBxypS已知过抛物线的焦点的直线交抛例抛物线的焦点弦问题题物线于两点问0221122121212222:sinsinsinsinsinsinsinOABOBFAFSSSOFBFOFAFOFAFBFOFABppp解与抛物线有关的定值，最值问题例4:已知抛物线x2=4y,点P是抛物线上的动点,点A的坐标为(12,6).求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值.故|PA|+y=|PA|+|PF|-1,由图可知,当A､P､F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为|AF|=13.故所求距离之和的最小值为|AF|-1=12.变式训练1:(2008·辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()179..3.5.22ABCD22117(0)(20).22d最小距离A变式训练2：已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点坐标.26.6 []x3y2x,yA.2,解将代入抛物线方程得点在抛物线内部21277,Pl:xd,PAPFPAd,,APl,PAd,PAPFP2,y2x,x2.P2,22.,2设抛物线上点到准线的距离为由定义知由图可知当时最小最小值为即的最小值为此时点纵坐标为代入得点坐标为22(,0)y2x.1AP,PA. 2P,Pxy30,.,3已知抛物线设点的坐标为在抛物线上求一点使最小在抛物线上求一点使到直线的距离最短并求出距离的例:最小值5题型四与抛物线有关的最值问题222222(3211()2().333[]1Px,y,PA)yx0,x0,P2,3AAP0,0.xxxx解设则≥且在此区间上函数单调递增故当时有最小值离点最近的点题型四与抛物线有关的最值问题20200000020| 21:Px,yy2x,Pxy33||3|222|(1)5|,2252.41(,10y1.2,d)Pyyxydy方法设点是抛物线上任一点则到直线的距离为当有最小值点的坐标为题型四与抛物线有关的最值问题22,,yxOAOBABx过抛物线的顶点作两条互相垂直的例弦求证:直线与轴的交点6：为定点.:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立222,AAxykkxyxky212联立22,2BBxkyk(1)k22222212ABkkkkkkk.FxOyBA22222:y()