抛物线的标准方程及性质

抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线想一想:定义中的定点与定直线有何位置关系?点F不在直线L上,即过点F做直线垂直于l于F，|FK|=P则P0求抛物线的方程解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线y轴设︱KF︱=p则F（0,2p），l：x=-2p。设抛物线上任意一点M（X，Y）定义可知|MF|=|MN|即：2)2(22pxyPx化简得y2=2px（p＞0）二、标准方程把方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F（2P，0），l：x=-2P而p的几何意义是:焦点到准线的距离|FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.1．四种抛物线的标准方程对比图形标准方程焦点坐标准线方程)0(22ppxy0,2p2px)0(22ppxy0,2p2px)0(22ppyx2,0p2py)0(22ppyx2,0p2py2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？顶点在原点对称轴为x轴对称轴为y轴标准方程为标准方程为y2=+2px(p0)x2=+2py(p0)开口与x轴开口与x轴开口与y轴开口与y轴同向：反向:同向：反向:y2=+2pxy2=-2pxx2=+2pyx2=-2py(p0)(p0)(p0)(p0)三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x,y)的横坐标x的取值范围是x≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.（3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1.（5）在抛物线y2＝2px（p＞0）中，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为),2(),,2(pppp，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.（6）平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点.但它不是双曲线的切线.（7）焦点弦长公式：过焦点弦长121222ppPQxxxxp四、例题讲解例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y2=6x（2）yx212（3）2x2+5y=0解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（23，0）准线方程是x=-23（2）因为2p=21，p=41，所以焦点坐标是（0，81），准线方程是Y=-81（3）抛物线方程是2x2+5y=0,即x2=-25y,2p=25，则焦点坐标是F（0，-85）,准线方程是y=85例2.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F（0，-2）(2)焦点在直线3x-4y-12=0上(3)抛物线过点A（-3，2）。解：(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2=2，p=4，所以抛物线的方程是x2=-8y(2)由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，即A（4，0）或B（0，-3）当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y(3)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，当焦点在x轴的负半轴上时得p=49把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=32∴抛物线的标准方程为x2=29y或y2=-34x例3.设P是抛物线xy42上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求PFPB的最小值。解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为AF，即为5。图4图3（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点P1，则FPQP11，则有BQQPBPPFPB11=4即PFPB的最小值为4巩固练习：1、已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为解析：运用抛物线的定义，将P到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离，如右图，当点A(0,2)与P以及F三点共线时，距离之和最小，即为172AF2、已知A（3，1），抛物线42xy上一点P（x,y），则|PA|+y的最小值为。解析：抛物线42xy的准线为：y=-1，焦点F（0，1），记P在直线y=-1上的射影为Q，则y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见：|PA|+|PF|≥|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值为2。3、求证：以抛物线pxy22过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H。图5由抛物线的定义有：BFBDAFAC，∵ABDC是直角梯形即MH为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。4、已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为解析：如图，过点A作AM垂直于准线于点M，由抛物线定义得AMAF，又2AKAF则2AKAM，在RtAMK中，AMMK即AFMK，此时AF垂直于x轴，AFK为等腰直角三角形，故面积为22114822KF5、设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.。证明：直线AC经过原点O,∵抛物线的焦点为F（2p，0），∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+2p，代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，∴y1y2=-p2.∵BC∥x轴，且点C在准线x=-2p上，∴点C的坐标为（-2p，y2）.∴直线OC的斜率为k=111222xyyppy，即k也是直线OA的斜率.∴直线AC经过原点O.6、A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）.求证：（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB经过一个定点.证明（1）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y12=2px1、y22=2px2.∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).∴y1y2=-4p2，从而x1x2=4p2也为定值.（2）∵y12-y22=2p(x1-x2)，∴2121212yypxxyy.由两点式可得：112121121211xyyxxyyxxxyyxxyy令y=0。可得直线AB与x轴的焦点坐标ppyyxpyyyxpyyyxyyxxyx222221121211211112121∴直线AB经过定点（2p，0）.7、若椭圆12222byax(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为：(A)1617(B)41717(C)45(D)255[来源:Zxxk.Com]解析：抛物线y2=2bx的焦点为F（2b，0），∵F将线段F1F2分成5∶3的两段，∴（2b+c）：（c-2b）=5∶3c=2be=255,选D。8、斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y2=4x的焦点为F(1，0)，则l的方程为y=x－1．由142xyxy消去y得x2－6x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=6．又A、B两点到准线的距离为A，B，则8262112121xxxxBBAA9、如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹方程为.解析：设切点A、B坐标分别为))((,(),(01211200xxxxxx和，∵y/=2x，∴两切线斜率分别为：2x0和2x1,于是：切线AP的方程为：;02200xyxx切线BP的方程为：;02211xyxx解得P点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以△APB的重心G的坐标为PPGxxxxx310，OGBAyxPl,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy∴243GGpxyy，结合px=Gx代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：).24(31,02)43(22xxyxyx即注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。10、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点（）A.共圆B.共线C.在另一抛物线上D.分布无规律【解析】设M(x1，y1)，Ｎ（x2，y2），设抛物线方程为y2＝2px.则F（2p，0），准线x=－2p,∴P（－2p，y1），Ｑ（－2p，y2）由PF⊥QF得pypy21＝－1，∴y1y2＝－p2221122222221111222222pypyppyypxykpypypxykNFMF∴kMF＝kNF∴M、N、F共线.11、抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（）A.m+n=mnB.m+n=4C.mn=4D.无法确定【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m=2,n=2,∴m+n=mn.当焦点弦与抛物线的轴不垂直时，设焦点弦所在直线方程为y=k(x－1)(k≠0).把y=k(x－1)代入y2=4x并整理得k2x2－2（k2+2）x+k2=0.∴x1·x2=1,∵m=x1+1,n=x2+1,∴x1=m－1,x2=n－1代入x1x2=1得(m－1)(n－1)=1即m+n=mn.【答案】A课后作业：一、选择题1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是()A．开口向上，焦点为(0,1)B．开口向上，焦点为(0，116)C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，焦点为(0，116)解析：由y＝4x2得x2＝14y，∴开口向上，焦点坐标为(0，116)．答案：B2．焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是()A．y2＝2xB．x2＝4yC．y2＝－4xD．y2＝4x解析：由焦点在x＝1上，故焦点坐标为(1,0)，∴抛物线开口向右且p2＝1，∴p＝2，∴方程为y2＝2px＝4x.答案：D3．若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆x26＋y22＝1的左焦点重合，则a的值为()A．－4B．2C．－8D．4解析：由椭圆可知左焦点坐标为(－2,0)，∴抛物线开口向左且p2＝2，∴p＝4，故方程为y2＝－8x，∴a＝－8.答案：C4．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则点P坐标为()A．(32，±62)B．(74，±72)C．(94，±32)D．(52，±102)解析：设P(x，y)，则点P到焦点距离为2，