专题46 空间向量及其运算(解析版)

专题四十六空间向量及其运算【高频考点解读】1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直．【热点题型】题型一空间向量的线性运算例1、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB→＝a，向量AD→＝b，AA1→＝c，N是AB的中点，M是A1C1的中点，试用向量a，b，c表示MN→.【解析】如图所示，知MN→＋NA→＋AA1→＋A1M→＝0，因为NA→＝－12AB→＝－12a，AA1→＝c，A1M→＝12A1C1→＝12(a＋b)，所以MN→＝12a－c－12(a＋b)＝－12b－c.【提分秘籍】用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，可从以下角度入手(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和、差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．【热点题型】题型二共线向量定理、共面向量定理的应用例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【证明】(1)连接BG，则(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【提分秘籍】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性关系a＝λb，即可判定两直线平行．【举一反三】如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF→＝23CB→，CG→＝23CD→.求证：四边形EFGH是梯形．证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴AE→＝12AB→，AH→＝12AD→，∴EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→＝12(CD→－CB→)＝1232CG→－32CF→＝34(CG→－CF→)＝34FG→，∴EH→∥FG→且|EH→|＝34|FG→|≠|FG→|，又F不在EH上，∴四边形EFGH为梯形．【热点题型】题型三空间向量数量积的应用例3、如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．【提分秘籍】用向量的数量积可解决异面直线的夹角、两点距离(即线段长度)，证明垂直等问题(1)求向量m，n的夹角时，首先选择基底，将目标向量m，n用该基底表示，利用公式m，n＝m·n|m|·|n|求得；(2)两点距离(即线段长度)用公式a2＝|a|2求得．【举一反三】已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝AB→，b＝AC→，(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．【热点题型】题型四方程思想在空间向量基本问题中的应用例4、已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.657【解析】由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴7＝2t－μ，5＝－t＋4μ，λ＝3t－2μ，解得t＝337，μ＝177，λ＝657.【答案】D【提分秘籍】1.利用共面基本定理转化为向量相等．然后利用方程思想建立方程组可求解实数λ.2.空间向量共线、共面问题是考试的重点，利用空间向量共线定理、共面定理待定系数是命题的热点．此类问题体现了方程思想的应用．解决时根据基本定理转化为方程式或方程组可求解问题．【举一反三】设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k(其中i，j，k是两两垂直的单位向量)．若a4＝λa1＋μa2＋υa3，则实数组(λ，μ，υ)＝________.【高考风向标】1．（2014·广东卷）已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)2．（2014·重庆卷]如图1­3所示，四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A­PM­C的正弦值．图1­3【解析】解：(1)如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC∩BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，OA→，OB→，OP→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O­xyz.【随堂巩固】1．设空间四点O，A，B，P满足OP→＝OA→＋tAB→，其中0t1，则有()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段BA的延长线上D．点P不一定在直线AB上解析：∵0t1，∴P点在线段AB上．答案：A2．有4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．43.底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与MN→相等的向量是()A．－12a＋12b＋13cB.12a＋12b－13cC.12a－12b－13cD．－12a－12b＋23c4．在空间四边形ABCD中，AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝()A．－1B．0C．1D．不确定解法二在解法一的图中，选取不共面的向量AB→，AC→，AD→为基底，则原式＝AB→·(AD→－AC→)＋AC→·(AB→－AD→)＋AD→·(AC→－AB→)＝AB→·AD→－AB→·AC→＋AC→·AB→－AC→·AD→＋AD→·AC→－AD→·AB→＝0.答案：B5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为()A.216aB.66aC.156aD.153a解析：如图，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，6.如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则AP→·AB→的值为()A．0B．1C．0或1D．任意实数7．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB→与CA→的夹角θ的大小是________．8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，如果有PM→＝PB1→＋6AA1→＋7BA→＋4A1D1→，那么M点一定在平面________内．9．已知四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F则EF→＝________.答案：3a＋3b－5c10．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．11.如图，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，求CD的长度．12．如右图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心，求证：(1)OA→＋OB→＋OC→＝0；(2)SO→＝13(SA→＋SB→＋SC→)．