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第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课时菱形的性质与判定的综合运用◎学习目标1.能运用菱形的性质与判定定理进行简单的证明与计算．2.通过有关菱形的问题探索与综合应用，培养观察能力．◎知识梳理1.菱形的性质：边：菱形的四条边都_____________．角：菱形的两组对角分别_____________．对角线：菱形的对角线_____________，每一条对角线_____________一组对角．相等相等互相垂直平分平分相等互相垂直四条边都相等2.菱形的判定：(1)定义：有一组邻边_____________的平行四边形是菱形；(2)定理：两条对角线_____________的平行四边形是菱形；(3)定理：_____________的四边形是菱形．3.菱形的面积等于两条_____________乘积的一半．对角线1.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD交于点O.因为菱形的对角线互相垂直，所以有S△ABC＝12×AC×BO，S△ADC＝_____________，从而有S菱形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝12×AC×(BO＋_______)＝12×AC×BD，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．12×AC×DODO◎自主检测知识点：菱形的性质与判定2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，并且DE＝DF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．证明：(1)证∠AED＝∠CFD＝90°，∠A＝∠C，DE＝DF，∴△AED≌△CFD；(2)由(1)得AD＝CD，从而证四边形ABCD是菱形．知识点：菱形的性质与判定的综合运用3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．解：(1)证明：由DE是△ABC中位线，得DE∥BC且BC＝2DE＝BE＝EF，可证四边形BCFE是菱形；(2)由∠BCF＝120°，得∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，再求出菱形的高为23，面积为83.探究：将两个完全相同的Rt△CAB与Rt△ACD如图摆放(其中∠ADC＝∠CBA＝90°)，△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1.(1)求证：四边形ABC1D1为平行四边形；(2)若∠DAC＝30°，CD＝2，当移动距离CC1为何值时，四边形ABC1D1为菱形？解：(1)证明：由已知得Rt△CAB≌Rt△ACD，CD＝AB，∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB，又由平移知：C1D1∥CD，C1D1＝CD，∴C1D1∥AB，C1D1＝AB，∴四边形ABC1D1为平行四边形；(2)由∠DAC＝30°，得AC＝2CD＝4，若需证四边形ABC1D1为菱形，则需AD1＝C1D1.又∵∠AC1D1＝∠ACD＝60°，∴△AC1D1为等边三角形，∴AC1＝D1C1＝2，∴CC1＝AC－AC1＝2.因此，当CC1＝2时，四边形ABC1D1为菱形．◎基础训练1.用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形B第1题图2.如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是()A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍B第2题图D3.(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为()A．2B．5C．3D．44.如图，四边形ABCD是菱形，CF⊥AD交AD的延长线于点F，CE⊥AB交AB的延长线于点E.请你猜想CE与CF的大小，并说明理由．解：CE＝CF，理由：方法1：连AC，由性质得AC是∠DAB的平分线，故CF＝CE；方法2：证△CDF≌△CBE得CE＝CF.5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．解：(1)证AC∥DE，得四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；(2)四边形BECD是菱形，理由是：先证四边形BECD是平行四边形，又∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形．A◎拓展提升6.(2017·苏州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.点P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()A．283B．243C．323D．323－8【解析】连接DF，BD，DF交PP′于点H，证△ABD为等边三角形，由勾股定理解得DF＝43，PF＝3，FH＝32，∴DH＝732，∴S▱PP′CD＝732×8＝283.7.将平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF.(1)求证：△ABE≌△AD′F；(2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：由折叠知：∠EAD′＝∠C＝∠BAD，∠D′＝∠D＝∠B，AD′＝CD＝AB，从而可证△ABE≌△AD′F；(2)连CF，四边形AECF是菱形．理由是：由(1)得AF＝AE＝CE，从而四边形AECF是平行四边形，进而证它为菱形.