角的推广及弧度制教案

-1-主备教师：彭介顾审核：高一备课组授课时间：年月日星期北师大版数学必修4第一章《三角函数》课后回忆课题：§2角的概念的推广课时：1教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)与区间角的概念.（二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标1．提高学生的推理能力；2．培养学生应用意识．教学重点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程重点与难点重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学方法采用阅读自学与启发引导相结合.教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课：1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角始边终边顶点AOB-2-北师大版数学必修4第一章《三角函数》课后回忆例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴60°；⑵120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．3．探究：教材P7终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：⑴k∈Z⑵α是任一角；⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷角α+k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)．解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}．例5．写出终边在xy上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．4．课堂小结①角的定义；②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法．5．课后作业：教材P.8习题1.1第1、2、3题思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2各是第几象限角？解：角属于第三象限，k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．又k·180°+90°＜2＜k·180°+135°(k∈Z)．正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角⑵B1y⑴Ox45°B2OxB3y30°60o负角：按顺时针方向旋转形成的角-3-北师大版数学必修4第一章《三角函数》课后回忆当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜2＜n·360°+135°(n∈Z)，此时，2属于第二象限角当k为奇数时，令k=2n+1(n∈Z)，则n·360°+270°＜2＜n·360°+315°(n∈Z)，此时，2属于第四象限角因此2属于第二或第四象限角．课题：§3弧度制课时：1教学目标(一)知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（二）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题（三）情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与-4-北师大版数学必修4第一章《三角函数》课后回忆角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系采用阅读自学与启发引导相结合.教学过程教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课：1．引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．3．思考：（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;rr②整圆所对的圆心角为.22rr③角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．④角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.rl4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：2360；180；rad01745.01801；radnn180．②将弧度化为角度：3602；180；)180(1rad5．常规写法：①用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式,不必写成小数．②弧度与角度不能混用．6．特殊角的弧度角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度064323243652327．弧长公式-5-北师大版数学必修4第一章《三角函数》课后回忆rlrl||||弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad53化成度．例3．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：319)1(；315)2(．例4．将下列各角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(；631)2(．解:(1),672319而67是第三象限的角,193p\是第三象限角.(2)315316,666pppp-=-+\-是第二象限角..,,215.是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例RllRS证法一:∵圆的面积为2R,∴圆心角为1rad的扇形面积为221R,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为Rlrad,∴扇形面积lRRRlS21212．证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为3602RnS，又此时弧长180Rnl，∴RlRRnS2118021．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:RlRS扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角?②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．8．课后作业：P11习题7、8题及B2、3题．ORl-6-北师大版数学必修4第一章《三角函数》课后回忆