平面向量的练习题及答案

精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创1/28平面向量的练习题及答案典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；②?c＝a?；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创2/28A.1B.C.D.4选D.|a|＝a?a正确；?c≠a?；OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a,=b,试用a、b表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O，111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创3/281115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b).323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为.由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP－AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB＋BP＝0，所以?＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB，BD共线.又因为它精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创4/28们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中，OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE?的情形，而向量平行则包括共线的情形.精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创5/282.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD，1???a,??2即???1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于1B.C.1D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/28题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3?＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v?＝λ?2x?1??,??????－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…77＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777值为284.题型三平行向量的坐标运算精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创7/28已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asinA＝bsinB.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m·p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absinC3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－cosC＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创8/28例题讲解1、下列命题中,正确的是A.若a?b,则a与b的方向相同或相反B.若a?b,b?c,则a?cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a=b,b=c,则a=c.????1????2????2、已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则33????????|AB|:|BC|?A.3:1B.1:C.2:1D.1:23、已知向量a=,b=,若2a–b与b共线,则实数n的值是A.6B.C.3?23D3?23??????????????4、向量AB?按向量a?平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为A.B.C.D.、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创9/28????????????F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF?A.14a?34bB.14a?34bC.18a?78bD.18a?78b6、若函数f?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是???A.B.C.424二、填空题:共3小题7、设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则k?8、若a?b?c,化简3?2?2?、已知正△ABC的边长为1,则BC?2CA?3AB等于精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创10/28????????????检测题1、已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a,则?=A.?1B.?1C.0D.02、设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是A.a?b??B.a???bC.a?b?a?bD.a?a?b、已知a=,b=,?,则实数k的值是A.53B.2511C.?12D.?174、已知平面向量a?,b?,则向量a?b.A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于y轴C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于x轴5、将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数y?2x?5的图象只有一个公共点,则向量a?精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创11/28A.B.C.D.6.如图,在正六边形ABCDEF中,????????????已知AC?c,AD?d,则AE?.巩固练习????????????????????1.若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?377A.1B.?4C.?D.222.设a?,b?,c?则?c?A.B.0C.?3D.?11答案C3.在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的面积等于A．22B．24C．32D．2精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/28答案A4.在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为A．10B．20C．－10D．205.已知下列命题中：????若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，??????若a?b?0，则a?0或b?0若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0??若a与b平行，则a?b?|a|?|b|p2?q2?2其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．3????????????6.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于A.30?B.60?C.90?D.120?.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE????????????线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?的延长b精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创13/28D．a?3123bA．14a?12bB．23a?13bC．12a?14答案B8.已知a?1,b?6,a??2，则向量a与向量b的夹角是A．?6B．?精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创14/284C．?3D．?2答案C????????????????9.在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有A.ABCD是菱形B.ABCD是矩形C.ABCD是正方形D.以上皆错10.已知向量a?,向量b?则|2a?b|的最大值，最小值分别是A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0二.填空题11.已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于.答案－2512.设p=，q=，若p与q的夹角??[0,?2)，则x的取值范围是13.若平面向量a，b精品文档2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创15/28满足??1，a?b平行于x轴，b?，则a?答案-=解析a?b?或，则a???或a???.14.在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?的最小值是________。答案－2??15