高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题

-1-高中数学选修2–2知识点第一章导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是000()()limxfxxfxx，称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxfxxfxx。导数的物理意义：瞬时速率。2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点nP无限趋近于P时，割线nPP趋近于稳定的位置直线PT，我们说直线PT与曲线相切。割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx3．导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，称它为()fx的导函数.()yfx的导函数记作y,即0()()()limxfxxfxfxx二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()fxc(c为常数)，则()0fx；2.若()fxx,则1()fxx;3.若()sinfxx,则()cosfxx4.若()cosfxx,则()sinfxx;5.若()xfxa,则()lnxfxaa6.若()xfxe,则()xfxe7.若()logafxx,则1()lnfxxa8.若()lnfxx,则1()fxx2）导数的运算法则1.[()()]()()fxgxfxgx2.[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx3.2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx3）复合函数求导()yfu和()ugx,称则y可以表示成为x的函数,即(())yfgx为一个复合函数(())()yfgxgx三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递减.-2-(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0fx≥；若函数单调递减，则()0fx≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()yfx的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()fx;(3)求方程()fx=0的根;(4)如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极大值;如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()yfx在(,)ab内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用.2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbiiani=1f(x)dx=limf()x(2)定积分几何意义：①baf(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积.②baf(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质：①bbaakf(x)dx=kf(x)dx②bbb1212aaa[f(x)f(x)]dx=f(x)dxf(x)dx③bcbaacf(x)dx=f(x)dx+f(x)dx-3-(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式abf(x)F(b)-F(a),Fxfx’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.-4-6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值*00()nnN时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)nkknkN时命题成立，推证当1nk时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.第三章数系的扩充与复数的引入一:复数的概念(1)复数:形如(,)abiaRbR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.(2)分类:复数(,)abiaRbR中,当0b,就是实数;0b,叫做虚数;当0,0ab时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。2．相关公式z=(,)abiaRbR⑴dcbadicbia且,⑵00babia⑶22babiaz⑷zabizabi若则zz，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.3．复数运算⑴复数加减法：idbcadicbia；⑵复数的乘法：abicdiacbdbcadi；⑶复数的除法：abicdiabicdicdicdi222222acbdbcadiacbdbcadicdcdcd（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）4.常见的运算规律(1);(2)2,2;zzzzazzbi222241424344(3);(4);(5);(6),1,,1;nnnnzzzzabzzzzzRiiiiii22111(7)1;(8),,112iiiiiiiiii)9(设231i是1的立方虚根，则012，1,,332313nnn-5-基础练习：1．若cossinzi（i为虚数单位），则21z的值可能是A.6B.4C.3D.22．复数43i1+2i的实部是（）A．2B．2C．3D．43．设z的共轭复数是z，若z+z=4,z·z＝8，则zz等于A.iB-iC±1D.±i4．)(xf=ax3+3x2+2，4)1(f，则a=（）319.316.313.310.DCBA5．曲线3xy在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（）A.（－2，－8）B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（12，18）6．曲线53123xxy，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（）A.6B.4C.3D.437．函数32()31fxxx是减函数的区间为()A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)8．关于函数762)(23xxxf，下列说法不正确的是（）A．在区间（，0）内，)(xf为增函数B．在区间（0，2）内，)(xf为减函数C．在区间（2，）内，)(xf为增函数D．在区间（，0）),2(内,)(xf为增函数9．已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是（）-6-10.若sinxfxex，则'fx11.曲线2932yx与32yx在0xx处的切线互相垂直，则0x=12.函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=13.函数5123223xxxy在[0,3]上的最大值与最小值分别是,14.已知函数).(111)(Raxaaxnxxf（Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1fxfya（Ⅱ）当12a≤时，讨论()fx的单调性．15.设函数2312)(bxaxexxfx，已知12xx和为)(xf的极值点。（1）求ba,的值；（2）讨论)(xf的单调性；