2017年上海数学一模专题汇编——数列

1一、填空题1、（宝山一模）23lim1nnn2、（闵行一模）已知数列{}na的前n项和为21nnS，则此数列的通项公式为3、（崇明一模）已知无穷数列{}na满足112nnaa*()nN，且21a，记nS为数列{}na的前n项和，则limnnS4、（奉贤一模）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5、（奉贤一模）已知等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS，对任意的*nN，0nS恒成立，则公比q的取值范围是6、（青浦一模）已知数列{}na的通项公式为2nanbn，若数列{}na是单调递增数列，则实数b的取值范围是7、（徐汇一模）已知数列{}na是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为nS，设2nnnSbn*()nN，若数列{}nb是递减数列，则实数m的取值范围是8、（静安一模）已知奇函数()fx为定义在R上的增函数，数列nx是一个公差为2的等差数列，满足78()()0,fxfx则2017x的值为.9、（虹口一模）数列{}na是首项为1，公差为2的等差数列，nS是它前n项和，则2limnnnSa（黄埔一模）在数列{}na中，若对一切*nN都有13nnaa，且24629lim()2nnaaaa，则1a的值为10、（松江一模）已知数列{}na满足11a，23a，若1||2nnnaa*()nN，且21{}na是递增数列，2{}na是递减数列，则212limnnnaa211、（闵行一模）已知无穷数列{}na，11a，22a，对任意*nN，有2nnaa，数列{}nb满足1nnnbba（*nN），若数列2{}nnba中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的1b的值为12、（青浦一模）已知数列{}na满足：对任意的*nN均有133nnakak，其中k为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}ia，2,3,4,5i，则满足条件的1a所有可能值的和为13、（宝山一模）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为14、（金山一模）设数列{}na是集合{|33,stxxst且,}stN中所有的数从小到大排列成的数列，即14a，210a，312a，428a，530a，636a，，将数列{}na中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a的值为二、选择题15、（普陀一模）设无穷等比数列{}na的首项为1a，公比为q，前n项和为nS，则“11aq”是“lim1nnS”成立的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要16、（崇明一模）实数a、b满足0ab且ab，由a、b、2ab、ab按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列B.可能是等差数列，但不可能是等比数列C.不可能是等差数列，但可能是等比数列D.不可能是等差数列，也不可能是等比数列17、（长宁嘉定一模）若无穷等差数列{}na的首项10a，公差0d，{}na的前n项和为nS，则以下结论中一定正确的是（）A.nS单调递增B.nS单调递减C.nS有最小值D.nS有最大值3三、解答题18、（宝山一模）设数列{}nx的前n项和为nS，且430nnxS（*nN）；（1）求数列{}nx的通项公式；（2）若数列{}ny满足1nnnyyx（*nN），且12y，求满足不等式559ny的最小正整数n的值；19、（虹口一模）已知函数()2|2||1|fxxx，无穷数列{}na的首项1aa；（1）若()nafn（*nN），写出数列{}na的通项公式；（2）若1()nnafa（*nN且2n），要使数列{}na是等差数列，求首项a取值范围；（3）如果1()nnafa（*nN且2n），求出数列{}na的前n项和nS；420、（奉贤一模）设数列{}na的前n项和为nS，若1122nnaa*()nN，则称{}na是“紧密数列”；（1）若11a，232a，3ax，44a，求x的取值范围；（2）若{}na为等差数列，首项1a，公差d，且10da，判断{}na是否为“紧密数列”；（3）设数列{}na是公比为q的等比数列，若数列{}na与{}nS都是“紧密数列”，求q的取值范围；521、（崇明一模）已知数列{}na、{}nb满足2(2)nnnSab，其中nS是数列{}na的前n项和；（1）若数列{}na是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}nb的通项公式；（2）若nbn，23a，求证：数列{}na满足212nnnaaa，并写出{}na通项公式；（3）在（2）的条件下，设nnnacb，求证：数列{}nc中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积；622、（黄埔一模）已知数列{}na、{}nb满足1nnnbaa(1,2,3,)n；（1）若10nbn，求165aa的值；（2）若33(1)(22)nnnnb，11a，则数列21{}na中第几项最小？请说明理由；（3）若12nnncaa(1,2,3,)n，求证：“数列{}na为等差数列”的充分必要条件是“数列{}nc为等差数列且1nnbb(1,2,3,)n”；723、（长宁嘉定一模）已知无穷数列{}na的各项都是正数，其前n项和为nS，且满足：1aa，11nnnrSaa，其中1a，常数rN；（1）求证：2nnaa是一个定值；（2）若数列{}na是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意*nN，都有nTnaa成立，则称{}na为周期数列，T为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列{}na是各项均为有理数的等差数列，123nnc（*nN），问：数列{}nc中的所有项是否都是数列{}na中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；824、（金山一模）数列{}nb的前n项和为nS，且对任意正整数n，都有(1)2nnnS；（1）试证明数列{}nb是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}na共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}na的每相邻两项ia与1ia之间插入i个(1)iib*()iN后，得到一个新数列{}nc，求数列{}nc中所有项的和；（3）如果存在*nN，使不等式11820(1)()(1)nnnnnbnbbb成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由；925、（静安一模）由2mm个不同的数构成的数列12,,naaa中，若1ijn时，jiaa（即后面的项ja小于前面项ia），则称ia与ja构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数成为该数列的逆序数，如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列1，111,,248的逆序数为4.（1）计算数列*2191100,nannnN的逆序数；（2）计算数列*1,31,,1nnnanknNnnn为奇数为偶数的逆序数；（3）已知数列12,,naaa的逆序数为a，求11,,nnaaa的逆序数.1026、（闵行一模）在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,nnPPPPPP，设点kP的坐标(,)kkxy（kN，kn），其中kx、kyZ，记1kkkxxx，1kkkyyy，且满足||||2kkxy（*kN，kn）；（1）已知点0(0,1)P，点1P满足110yx，求1P的坐标；（2）已知点0(0,1)P，1kx（*kN，kn），且{}ky（kN，kn）是递增数列，点nP在直线:38lyx上，求n；（3）若点0P的坐标为(0,0)，2016100y，求0122016xxxx的最大值；1127、（浦东一模）设数列{}na满足21241nnaann，22nnbann；（1）若12a，求证：数列{}nb为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q、r(2)qr，若25b、qb、rb这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)qr；（3）若11a，nncbn，221111nnndcc，nM是nd的前n项和，求不超过2016M的最大整数；1228、（普陀一模）已知数列{}na的各项均为正数，且11a，对任意的*nN，均有2114(1)nnnaaa，22log(1)1nnba；（1）求证：{1}na是等比数列，并求出{}na的通项公式；（2）若数列{}nb中去掉{}na的项后，余下的项组成数列{}nc，求12100ccc；（3）设11nnndbb，数列{}nd的前n项和为nT，是否存在正整数m（1mn），使得1T、mT、nT成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；1329、（青浦一模）如图，已知曲线12:1xCyx（0x）及曲线21:3Cyx（0x），1C上的点1P的横坐标为1a（1102a），从1C上的点nP（*nN）作直线平行于x轴，交曲线2C于nQ点，再从2C上的点nQ（*nN）作直线平行于y轴，交曲线1C于1nP点，点nP（1,2,3,n）的横坐标构成数列{}na；（1）求曲线1C和曲线2C的交点坐标；（2）试求1na与na之间的关系；（3）证明：21212nnaa；1430、（松江一模）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H型数列”；（1）若数列{}na为“H型数列”，且113am，21am，34a，求实数m的范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}na为“H型数列”，其前n项和nS满足2nSnn*()nN？若存在，请求出{}na的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}na的每一项均为正整数，且{}na为“H型数列”；若23nnba，nc5(1)2nnan，当数列{}nb不是“H型数列”时，试判断数列{}nc是否为“H型数列”，并说明理由；1531、（徐汇一模）正数数列{}na、{}nb满足：11ab，且对一切2k，kN，ka是1ka与1kb的等差中项，kb是1ka与1kb的等比中项；（1）若22a，21b，求1a、1b的值；（2）求证：{}na是等差数列的充要条件是na为常数数列；（3）记||nnncab，当2n，nN，指出2ncc与1c的大小关系并说明理由；1632、（杨浦一模）数列na，定义na为数列na的一阶差分数列，其中nnnaaa1，Nn.（1）若nnan2，试判断na是否是等差数列，并说明理由；（2）若11a，nnnaa2，求数列na的通项公式；（3）对（2）中的数列na，是否存在等差数列nb，使得nnnnnnaCbCbCb2211对一切Nn都成立，若存在，求出数列nb的通项公式；若不存在，请说明理由.