[中科院自动化所]-小波域图像处理(2)

小波域图像处理（二）--图像处理中的线性逆问题的小波方法彭思龙[e-mail]2008.6.25内容图象处理线性逆问题小波域图像去噪的收缩模型收缩模型中的映射函数训练稀疏约束下线性逆问题的数学结果一类结合边缘的收缩去噪方法-能否变得清晰?问题提出：图像去噪一些重建问题1975年俄罗斯登陆器Ventra-10拍摄的Venus（金星）图像-我们能不能看到丢失的像素?Sapiroet.al.图像修复Sapiroet.al.图像块效应的去除-能否重建彩色图像？图像去模糊能否锐化Barbara?•上述问题处理的对象都是降质图像。•他们的重建需要求解一个•逆问题修复去模糊去噪去块效应典型的降质过程低照明度空气衰减(迷雾,湍流,…)光学失真(几何,模糊)传感器失真(量化，采样，传感器噪声，频谱的敏感性，去块效应)图像线性逆问题数学模型失真HnxyHxn噪声观测原图像重建算法yxˆ多年来，有几千篇论文讨论上述问题一般:失真H是奇异的或者是病态的。噪声n是未知的,很多情况下，只有噪声的统计模型能够通过训练学习得到。yxˆny1HnxyH图像线性逆问题Bayes框架一般来说我们归结为求解下述MAP问题：经过简单的推导：ˆargmax(|)xPxyxxxˆargmax(|)(|)()=argmax{}()=argmax{(|)()}=argmin{-log(|)log()}xxPxyPyxPxPyPyxPxPyxPx图像线性逆问题Bayes框架一般情况下，在空间域给定图像的先验模型是比较困难的，大多数都是假设图像有一定的光滑性，如MRF等。图像在空间域上的特征没有在小波域上特征那么稳定并且有一致性。图像线性逆问题小波域表示直接将空间域问题转移到小波域上；:::;;;;;TTTTyAxnWyWAxWn空间域左右同时做正交小波变换W由于小波变换的正交性：令图像线性逆问题小波域Bayes框架类似的我们可以得到小波域Bayes问题：xxxˆargmax(|)(|)()=argmax{}()=argmax{(|)()}=argmin{-log(|)log()}xXPXYPYXPXPYPYXPXPYXPX两个概率需要给出两个概率函数：和对于前者：一般都采用高斯模型，或者加权：可以选择上述任何一个概率模型。(|)PYX()PX2()()(|)exp{}2,TYAXQYAXPYXQI时是典型的高斯模型()PX小波域Wiener滤波A=I,图像的小波域先验模型是高斯分布。2222222222222()exp(/),(|)()()exp(/)ˆargmin{log(|)log()};ˆ=argmin{()//)()()//02()/2iiiiinXiiiniXiiiniiiniiPXXPYXPNPNNXPYXPXXYXXFXYXXFXYXX假定那么假设图像在小波域上点之间相互独立可以直接在点上处理2222/iinXY基于HMT的图像去噪2222221Wiener()iinKjiiijjnYXNXYHMTXPSjY滤波：基于的滤波：噪声方差的估计(||)0.6745nmeadianHH例子例子：例子：数据比较小波域收缩去噪算法从小波域Wiener滤波可以看出，去噪过程实际上是对小波系数进行简单收缩过程；问题：假设给每个小波系数收缩因子，那么最优的收缩方法是什么？这里假设信号和噪声已知，我们称之为先验去噪方法去噪模型N-1=2j+1-1dyadicsampling目标:恢复x其中:Wy=Y(W变换矩阵).定义对角线性投影:在变换域:ˆˆ,XYXxyx是从得到的的估计是从得到的的估计YXˆ22122222222222222221ˆˆ(,)[||||]ˆˆ[||()||][||||]||||||||,[||||]||0||||||,1ˆ(,)min(,)iiiiiiiiixNidnnRXXExxEWXXEXXYXNXEYXXXXRXXX定义风险函数:通用三步法1.使用离散小波变换DWT;选定小波和分解层数。计算Y=Wy2.在小波域上执行阈值处理。用阈值方法收缩小波系数（比如软阈值或者硬阈值）3.从收缩过的小波系数重建信号：计算问题：使用何种阈值处理方法?什么阈值?是使用单一阈值还是在不同的尺度采用不同的阈值？阈值收缩方法硬阈值|)(|,0|)(|),()(txtxtxtyhard=0.28软阈值|)(|,0|)(|,)(sgn)(txtxtxtxtysoft使用软或者硬阈值?众所周知，软阈值得到的结果比硬阈值更光滑。软阈值的结果视觉效果更好，因为是连续的。但是，硬阈值对于边缘的保护要比软阈值好。有时候在有些尺度上采用软阈值，其他尺度上采用硬阈值，得到的结果会更好。边缘被保留得很好，但是噪声没有被充分的抑制。边缘保留的不好，但是噪声几乎都被去除。已有的阈值处理方法VisuShrink(普适阈值)Donoho和Johnstone提出的提供了简单快速自动的阈值处理方法。对小波系数采用下述公式定义的阈值：σ是噪声的方差，n采样点的个数不需要对每个尺度都计算主要思想是去除所有小于给定的独立同分布标准噪声方差的小波系数。可以证明，如果噪声是白噪声Probablity{maxi|zi|(2logn)1/2}0,nSureShrink该方法对小波变换的每个分辨率都指定一个阈值。阈值的选取采用最小化SteinUnbiasedEstimateofRisk(SURE)的原理。其中d是带噪声数据元素个数，xi是小波系数元素。这个算法是平滑自适应的，意思是它适合处理分片平滑函数。min如果未知的函数含有阶越，重建的函数也有阶越；如果未知函数有平滑区域，重建的函数可以具有和采用的小波一样的平滑性。该算法在某种意义上是几乎最优的（在Besov空间中可以由数学证明）。阈值的选择总结Donoho和Johnstone提出的全局阈值基于零均值正态分布的置信区间阈值BayesShrink阈值（Chang等人)和MapShrink阈值(Moulin等）理想阈值Stein’sUnbiasedRiskEstimation准则：GeneralizedCrossValidation准则：估计噪声水平在阈值选择的过程中，可能需要从小波系数估计噪声的标准差σ。一个普遍采用的估计算子是其中MAD是小波系数（斜方向）的绝对值的中值。例子Difference!!例子Originalsignals噪声信号N=2048=211去噪信号软阈值重建具有两个性质：1.噪声几乎全部去除2.保持了锐利的边缘为什么能够有效？(I)数据压缩性这里采用Haar变换域阈值处理Haar变换使得信号的能量集中到少量的非常大的数据上。另一方面，高斯白噪声在任何正交变换域仍然是白噪声。在Haar基的表示上，少数非零的信号系数比噪声的水平要高阈值处理去除了噪声，没有去掉信号。形式化分析：Data:di=θi+εzi,i=1,…,nzi标准白噪声目标:恢复θi理想对角投影:保留所有大于ε的系数θi，去掉其余的系数。这个理想是不能达到的，因为我们没有关于θ的先验知识。理想均方误差为：定义“压缩数量“cn：令|θ|(k)=θi向量中第k个最大的元素，定义这是表明向量θi能够被一个非零元素个数为n的向量逼近的程度令因此，这个理想风险明确表示了能量被压缩到部分大系数的程度。下面是不同的正交基压缩的结果HaardbfourierHaardbfourier另一个侧面：消失矩小波的第m阶矩如果小波前M阶矩为零，那么所有具有如下多项式形式的信号的小波系数为零。这为什么重要呢？因为，如果我们使用具有足够高的消失矩的小波，那么低于该消失矩的多项式的小波系数都为零，能够达到很好的压缩效果。所有的信号在平滑部分都能够写成多项式（Taylor展开）这是小波能够成功压缩的原因。Mmmmtctx0)(dtttm)(为什么能够有效？(II)无条件基小波的一个很重要的特点是可以成为一个无条件基，不光是在L2,还可以在更广泛的一类平滑空间中，如Sobolev和HÖlder类.因此，“收缩”目标的小波系数（用软阈值）就是做一个平滑运算。Fourier基没有这类性质。一个变种虽然理论上在小波分解之后各个分辨率都含有噪声，但是，实际上在粗的分辨率上噪声的含量很少，所以有以下变化：0022(,2log)ˆ||||(2log1)(/)ijijijSwjjwsoftwnjjEffnnR有如下结果：空间自适应收缩算法全局一致的收缩参数虽然从理论上来看，误差风险和最小风险之间的量级基本相同，但是效果并不理想；主要原因在于不同的点上小波系数的方差是变化的一个点的Wiener滤波（信号和噪声都是高斯模型）：222ˆijijijijnww问题：能不能在信号的小波变换域估计局部信号方差？可以。（M.Vettelli)2221max{0,}ijijlnlBwMM是邻域的点的数量滤波流程Varianceestimation=max(0,SlY2(l)-n2)ww^WienerfilteringX(k)=+n2Y(k)^2(k)^2(k)^m2(k)^^^2(k)m2(k)^=argminVarm2(k)^滤波结果Donoho’shardthresholdingn=25,PSNR=26.34dB局部自适应n=25,PSNR=29.84dB最优阈值选取（M.Vettelli）M.Vettelli给出了另外一种最佳阈值形式：这个阈值与前者一样也可以局部化。2,nssLaplace是信号的方差：适用范围：和广义高斯模型上下文相关的局部模型M.Vettelli将其局部化参数进一步改进：思想是：在一个点的邻域内，有可能存在大量和当前点不属于同一类的点，放在一起来估计当前点的方差会造成较大的误差。怎么衡量点之间的相似性？如果纯粹用点的数值接近程度会对噪声的干扰比较敏感，计算出来的误差也比较大。上下文信息对于每个点（i,j），都有一个邻域，表示其邻域内点的绝对值的向量一个点的上下文信息定义：2,argmin{(||)}TijijTijijijZwuwwywu其中的选择如下：iju基于上下文信息的统计使用下面的统计来计算点的方差：22(,)1max{0,||}21(,)ijijklnklBijyLBij其中：表示在点的邻域中以当前点上下文信息为中心，与当前点信息最接近的大L个和小L个点的集合。冗余变换的收缩去噪中的映射函数学习SlicingtheTransform-ADiscriminativeApproachforWaveletDenoisingYacovHel-Or,DoronShakedHPLaboratoriesIsraelHPL-2006-103(R.1)November8,2006*因为简单，WaveletShrinkage成为最流行的方法：上千种应用上千篇论文(在GoogleScholar可以查到，D&J文章的引用达到１０８９次).效率到底如何?小波域收缩方法仍然不能达到最理想的效果。Why?小波系数不是真正的独立。小波收缩流程yTransformW映射函数Mi(yiw)InverseTransformWTxyiwxiw非线性映射yWMWxWTˆ基于下面的假设:N个子带，Ｎ个映射函数.iWibandiWixPxP多少个映射函数?