最新高二数学上册期末考试试卷及答案

最新高二数学上册期末考试试卷及答案试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则(C)A．p：∃x∈R，sinx≥1B．p：∀x∈R，sinx≥1C．p：∃x∈R，sinx1D．p：∀x∈R，sinx12．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(B)．A．160B．180C．200D．2203．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值等于(C)．A．5B．13C．13D．374．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(D)A.73B.54C.43D.535．在△ABC中，能使sinA＞32成立的充分不必要条件是(C)A．A∈0，π3B．A∈π3，2π3C．A∈π3，π2D．A∈π2，5π66．△ABC中，如果Aatan＝Bbtan＝Cctan，那么△ABC是(B)．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(B)A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(A)A.55B.53C.255D.359．当x＞1时，不等式x＋11x≥a恒成立，则实数a的取值范围是(D)．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]10．若不等式组4≤34≥30≥yxyxx＋＋，所表示的平面区域被直线y＝kx＋34分为面积相等的两部分，则k的值是(A)．A．73B．37C．43D．3411．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是(A)A．a≤－4B．a≥－4C．a≥－12D．a≤－1212．定义域为R的偶函数f(x)满足：对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2(x－3)2，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围为(B)A.0，22B.0，33C.0，55D.0，66解析由于定义为R的偶函数f(x)满足：对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T＝2，图象以x＝2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图，∵y＝loga(x＋1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有loga(2＋1)f(2)＝－2且0a1，解得a∈0，33。第Ⅱ卷（选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置13．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________。x2＝－4y14.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是______75__。15．过椭圆221164xy内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线的斜率等于________－1216．已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝1fn＋1＋fn，n∈N*。记数列{an}的前n项和为Sn，则S2016＝________。2017－1三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.17．(12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC。(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积。解(1)由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac，∵a＝b，∴a＝2c。由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋14a2－a22a×12a＝14。(2)由(1)得b2＝2ac。∵B＝90°，a＝2，∴a2＋c2＝2ac，∴a＝c＝2，∴S△ABC＝12ac＝1。18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0。(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。解(1)由x2－4ax＋3a2＜0，得：(x－3a)(x－a)＜0，当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3。由x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0。解得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3。若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3。(2)p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设集合A＝{x|p(x)}；集合B＝{x|q(x)}，则集合B是集合A的真子集，又B＝(2,3]，当a＞0时，A＝(a,3a)；a＜0时，A＝(3a，a)。所以当a＞0时，有a≤2，3＜3a，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B＝∅，不合题意，19．(本小题满分12分)已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切。(1)求动圆圆心P的轨迹M的方程；(2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|。解(1)设动圆圆心P(x，y)。因为动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切，所以点P到定点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，故点P的轨迹是一条抛物线，其焦点为F，准线为x＝－2，设轨迹方程为y2＝2px(p＞0)，则p2＝2，所以轨迹M的方程为y2＝8x。(2)轨迹M的焦点(2,0)，直线l的斜率k＝tan135°＝－1，于是其方程为y＝－(x－2)。由y＝－x－2，y2＝8x，消去y得x2－12x＋4＝0。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。20．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是直角三角形，且PA＝AB＝AC。又平面QBC垂直于底面ABC。(1)求证：PA∥平面QBC；(2)若PQ⊥平面QBC，求锐二面角Q－PB－A的余弦值。解(1)证明：过点Q作QD⊥BC交BC于点D，因为平面QBC⊥平面ABC。所以QD⊥平面ABC。又PA⊥平面ABC，所以QD∥PA。而QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，所以PA∥平面QBC。(2)因为PQ⊥平面QBC，所以∠PQB＝∠PQC＝90°。又PB＝PC，PQ＝PQ，所以△PQB≌△PQC，所以BQ＝CQ。所以点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，因此AD⊥平面QBC，故四边形PADQ是矩形。分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设PA＝2a，则Q(a，a,2a)，B(0,2a,0)，P(0,0,2a)。设平面QPB的法向量为n＝(x，y，z)，因为PQ→＝(a，a,0)，PB→＝(0,2a，－2a)，所以ax＋ay＝0，2ay－2az＝0，取n＝(1，－1，－1)。又平面PAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，设锐二面角Q－PB－A的大小为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·n|m||n|＝33，即锐二面角Q－PB－A的余弦值等于33。21．(本小题满分12分)若{}na的前n项和为nS，点),(nSn均在函数y＝xx21232的图像上。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式;na=3n-2（Ⅱ）13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，(1)点),(nSn均在函数y＝xx21232的图像上,nS=nn21232,故1nS)1(21)1(232nn)2(n,…从而当2nnS-1nS=3n-2,即na=3n-2,又当n=1时,111Sa,满足上式na=3n-2(2)13nnnaab,na=3n-2,)13)(23(3nnbn=131231nn...101717141411nT131231nn=.1331311nnn22．(本小题满分12分)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线y＝k(x－1)与椭圆C交于A，B两点，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得对任意的k∈R，MA→·MB→为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解(1)设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，则b2＝a22，由c2＝a2－b2，得c2＝a2－a22＝a22，由12×b×2c＝4解得a2＝8，b2＝4，则椭圆方程为x28＋y24＝1。(2)由y＝kx－1，x2＋2y2＝8，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－82k2＋1，则MA→·MB→＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(m＋k2)·(x1＋x2)＋k2＋m2＝(k2＋1)2k2－82k2＋1－(m＋k2)4k22k2＋1＋k2＋m2＝－5＋4mk2＋82k2＋1＋m2，当5＋4m＝16，即m＝114时，MA→·MB→＝－716为定值，故存在点M114，0，使得MA→·MB→为定值。