高考数学新题型

高考数学新题型选编（共70个题）1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)nnnfxxaxaxnN求函数()fx的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22nnnabababnN；（Ⅲ）定理:若123,,kaaaa均为正数,则有123123()nnnnnkkaaaaaaaakk成立(其中2,,)kkNk为常数．请你构造一个函数()gx，证明：当1231,,,,,kkaaaaa均为正数时，12311231()11nnnnnkkaaaaaaaakk．解：（Ⅰ）令111'()2()0nnnfxnxnax得11(2)()2nnxaxxaxxa…2分当0xa时，2xxa'()0fx故()fx在[0,]a上递减．当,'()0xafx故()fx在(,)a上递增．所以，当xa时，()fx的最小值为()0fa.….4分（Ⅱ）由0b，有()()0fbfa即1()2()()0nnnnfbabab故()(0,0,)22nnnabababnN．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11nnnnnkkaaaaaaaakk只要证：112311231(1)()()nnnnnnkkkaaaaaaaa设()gx1123123(1)()()nnnnnnkaaaxaaax…………………7分则11112'()(1)()nnnkgxknxnaaax令'()0gx得12kaaaxk…………………………………………………….8分当0x12kaaak时，1112'()[(]()nnkgxnkxxnaaax111212()()0nnkknaaaxnaaax故12()[0,]kaaagxk在上递减，类似地可证12()(,)kaaagxk在递增所以12()kaaaxgxk当时，的最小值为12()kaaagk………………10分而11212121212()(1)[()]()nnnnnnkkkkkaaaaaaaaagkaaaaaakkk=1121212(1)[()()(1)()]nnnnnnnkkknkkaaaaaakaaak=11212(1)[()()]nnnnnnkknkkaaakaaak=1112121(1)[()()]nnnnnnkknkkaaaaaak由定理知:11212()()0nnnnnkkkaaaaaa故12()0kaaagk1211[0,)()()0kkkaaaagagk故112311231(1)()()nnnnnnkkkaaaaaaaa即:12311231()11nnnnnkkaaaaaaaakk.…………………………..14分2、用类比推理的方法填表等差数列na中等比数列nb中32aad＝qbb233425aaaa5243bbbb1234535aaaaaa答案：5354321bbbbbb3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A．nB．n+1C．n-1D．2n答案：D4、若)(nf为*)(12Nnn的各位数字之和，如：1971142，17791，则17)14(f;记)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121fNknffnfnffnfnfnfkk则____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分证明：,,ADSAABSA且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD……………………5分（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF//EA,GF=EA,AF//EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，AFCD又SA=AD,F是中点，SDAFAF面SCD,EG面SCD,SEC面面SCD所以二面角E-SC-D的大小为90…………10分(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，12分在RtSCD中，aaaaSCDCSDDH3632答：点D到面SEC的距离为a36………………………14分6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列(1)nn中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列na，结果表明：①从A口输入1n时，从B口得113a；②当2n时，从A口输入n，从B口得到的结果na是将前一结果1na先乘以自然数列n中的第1n个奇数，再除以自然数列na中的第1n个奇数。试问：（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？（2）从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。aaaaaaa2a2aaaaSABCDEFGH解（1）2111515aa3213735aa（2）先用累乖法得*1()(21)(21)nanNnn得10011(21001)(21001)39999a7、在△ABC中，),(),0,2(),0,2(yxACB，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为101C：252y②△ABC面积为102C：)0(422yyx③△ABC中，∠A=90°3C：)0(15922yyx则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号1C、2C、3C填入）答案：213CCC8、已知两个函数)(xf和)(xg的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([xfg的表格,其三个数依次为A.3,1,2B.2,1,3C.1,2,3D.3,2,1答案：D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2。则函数fxxxxx()()()1222·，的最大值等于（C）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A.1B.1C.6D.1210、已知xR，［x］表示不大于x的最大整数，如[]3，[]121，[]120，则[]3_____________；使[]x13成立的x的取值范围是_____________答案：211、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线yx上”这个课题，我们可以分三步进行研x123f（x）231x123g（x）132x123g(f（x）)究：（I）首先选取如下函数：yx21，yxx21，yx1求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：yx21与其反函数yx12的交点坐标为（－1，－1）yxx21与其反函数yxx2的交点坐标为（0，0），（1，1）yx1与其反函数yxx210，()的交点坐标为（152152，），（－1，0），（0，－1）（II）观察分析上述结果得到研究结论；（III）对得到的结论进行证明。现在，请你完成（II）和（III）。解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上2分（III）证明：设点（a，b）是fx()的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点（b，a）也是fx()的图象与其反函数图象的交点，且有bfaafb()()，若a＝b时，交点显然在直线yx上若ab且fx()是增函数时，有fbfa()()，从而有ba，矛盾；若ba且fx()是增函数时，有fafb()()，从而有ab，矛盾若ab且fx()是减函数，有fbfa()()，从而ab成立，此时交点不在直线y＝x上；同理，ba且fx()是减函数时，交点也不在直线y＝x上。综上所述，如果函数fx()是增函数，并且fx()的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线yx上；如果函数fx()是减函数，并且fx()的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上。14分12、设M是由满足下列条件的函数)(xf构成的集合：“①方程)(xf0x有实数根；②函数)(xf的导数)(xf满足1)(0xf.”（I）判断函数4sin2)(xxxf是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素)(xf具有下面的性质：若)(xf的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在0x[m，n]，使得等式)()()()(0xfmnmfnf成立”，试用这一性质证明：方程0)(xxf只有一个实数根；（III）设1x是方程0)(xxf的实数根，求证：对于)(xf定义域中任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232xfxfxxxxxx时且当.解：（1）因为xxfcos4121)(，…………2分所以]43,41[)(xf满足条件,1)(0xf………………3分又因为当0x时，0)0(f，所以方程0)(xxf有实数根0.所以函数4sin2)(xxxf是集合M中的元素.…………4分（2）假设方程0)(xxf存在两个实数根(,），则0)(,0)(ff，………5分不妨设，根据题意存在数),,(c使得等式)()()()(cffff成立，……………………7分因为且,)(,)(ff，所以1)(cf，与已知1)(0xf矛盾，所以方程0)(xxf只有一个实数根；…………9分（3）不妨设32xx，因为,0)(xf所以)(xf为增函数，所以)()(32xfxf，又因为01)(xf，所以函数xxf)(为减函数，………………10分所以3322)()(xxfxxf，…………11分所以2323)()(0xxxfxf，即|,||)()(|2323xxxfxf…………12分所以.2||||)(||||)()(|121312132323xxxxxxxxxxxfxf…………………………13分13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为和.答案：9，12.14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。答案：315、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比．．为21()1fxx．（Ⅰ）试解释(0)f的实际意义；（Ⅱ）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由．答案：解：（I）f（0）=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇（Ⅱ）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用