信号课件--§5.2 拉普拉斯变换性质

第1页■§5.2拉普拉斯变换性质•线性性质•尺度变换•时移特性•复频移特性•时域微分•时域积分•卷积定理•s域微分•s域积分•初值定理•终值定理第2页■▲一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]1,f2(t)←→F2(s)Re[s]2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]max(1,2)例1f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，0例2第3页■▲二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]0，且有实数a0，则f(at)←→)(1asFa0de)()(tatfatfLst，则令atτ0de)()(aττfatfLτas0de)(1ττfaτasasFa1证明：)(1asFa第4页■▲三、时移特性若f(t)-----F(s),Re[s]0,且有实常数t00,则f(t-t0)(t-t0)-----e-st0F(s),Re[s]0与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)←→asFasat0e1例1:求如图信号的单边拉氏变换。011f1(t)t01-11tf2(t)解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=)e1(1ssF2(s)=F1(s)第5页■▲例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例3:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F(s)=?第6页■▲四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]0+a例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=12ss求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→)1(322e9)1(1sss例2:f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)42222242224)(222ssssssF第7页■▲五、时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-))0()0()()0(0d)(d22fsfsFsffsFsttfL10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推广：证明：)(0deede000ssFfttsftfttfststst第8页■▲举例若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)例1:(n)(t)←→?例2:?]2[cosddtt例3:?)](2[cosddttt第9页■▲六、时域积分特性（积分定理），则若)()(sFtfLsfssFττfLt)0()(d)(1证明：ττfττfττfttddd0001f00dedtττfstttsttstttfsττfs000de1de①②①②tstttfs0de1sf01ssF第10页■▲)(1d)(0sFsxxfnnt例1:t2(t)----?)(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt第11页■▲例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)f(t)t022解：对f(t)求导得f’(t)，如图f'(t)t(-2)120)0()(d)('0ftfxxft由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0txxftf0d)(')(f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–δ(t–2)←→F1(s)sss22e)e1(1ssFsF)()(1结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)←→Fn(s)则f(t)←→Fn(s)/sn第12页■▲七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]1,f2(t)←→F2(s),Re[s]2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121例1：tε(t)←→?例2：已知F(s)=?)e1(12ss00)2()2(*)(nnntnttTssTsT2e1e1e11例3：第13页■▲八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]0,则ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例1：t2e-2t(t)←→?e-2t(t)←→1/(s+2)t2e-2t(t)←→322)2(2)21(ddssssdFttf)()(第14页■▲例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例3：?e12tt211e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12第15页■▲九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则)(lim)(lim)0(0ssFtffst终值定理若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]0,00，则)(lim)(0ssFfs第16页■▲举例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2ssssF