机械振动 第4章-二自由度系统的振动

第四章：二自由度系统的振动振动系统的自由度定义为描述振动系统的位置或形状所需要的独立坐标的个数。两个独立坐标来描述其运动的振动系统称为两自由度振动系统m1m2k1k2x1x2k1k2LmcIcxθθ2θ1I1I2ktlkt2双质量弹簧系统单质量弹簧旋转系统扭振系统4.1二自由度系统运动微分方程m1m2x1x2c2c1k1k2F1(t)F2(t)m1m2F1(t)F2(t)k1x1k2(x2-x1)221()cxx11cx1111111221221()()()mxFtcxkxcxxkxx222221221()()()mxFtcxxkxx运动微分方程111212212122122212221222()()()()mxccxcxkkxkxFtmxcxcxkxkxFt()MxCxKxFt[M]——系统的质量矩阵。[C]——系统的阻尼矩阵。[K]——系统的刚度矩阵。{x}——系统的位移列阵。xx—系统的一、二阶导数列。{F(t)}—系统的激振力列。1112121222111212221222211121222122221122112200,,(),()()mmmMmmmcccccCcccckkkkkKkkkkxxxxxxxFtxFtxFt在弹性系统微幅振动中，刚度矩阵[K]总是对称的，即永远存在Kij=Kji。对于同一系统，当采用不同的独立坐标来描述时，其[M]、[C]、[K]矩阵中的元素是不同的，但不影响系统的固有特性，系统的固有频率与坐标的选取无关，一定的系统其固有频率是一定的。运动微分方程4.2二自由度系统的自由振动m1m2x1x2k1k2m1m2k1x1k2(x2-x1)4.2.1无阻尼二自由度系统的自由振动取静平衡位置为坐标原点，用x1和x2两个独立坐标来描述系统的运动。111221222220000mxkkkxmxkkx对振动过程中任何一瞬时的m1和m2取分离体，应用牛顿运动定律，可得其运动方程为其用具体的矩阵形式表示的微分方程为(1)4.2.1无阻尼二自由度系统的自由振动二阶常系数线性齐次微分方程组，设其一组解为11sin()nxAt22sin()nxAt两个质量块均服从具有相同频率ωn和相同相角φ的同步谐振，式中A1和A2分别为质量m1和m2的振幅1112111221222220000nkkAmAkkAmA(2)代入(1)微分方程得：(3)(2)2()0nKMA　　(4)写成一般形式：{A}——振幅列阵4.2.1无阻尼二自由度系统的自由振动2111112222122200nnAkmkAkkm(4)写成展开形式振幅向量不能总是为零，(5)成立的条件振幅向量列阵的系数矩阵行列式应等于零，即特征方程为(5)2111122212220nnkmkkkm(6)4.2.1无阻尼二自由度系统的自由振动(7)(8)22211122212222212122211112212()()0()()0nnnnkmkmkmmmkmkkkk展开(6)得行列式：其根称为系统的特征值，即系统的固有频率的平方。221,242nbbaca代数中的二次公式求解方程212122211112212,(),ammbmkmkckkkK式中：4.2.1无阻尼二自由度系统的自由振动21n22n必定是正的，另外b2-4ac的展开式总是正的，故是两个实数根。若21n22n，ωn1称为第一阶固有频率，也称基频；ωn2称为第二阶固有频率。显然，二自由度系统共有两个固有频率，且固有频率同样取决于系统本身的物理性质(mi,Ki,i=1,2)。12nnK204bacb如果行列式不是负的，必然，不能求得振幅A1和A2确定值，但可得对应于21n22n，将代入(6)，21n22n下的比值称之为振幅比。振幅比决定了振动的振型2(1)22121121(1)221111212(2)22221122(2)22112121nnnnkmAkrAkmkkmAkrAkmk(9)例题4-1，m1m2x1x2k1k2m1m2k1x1k2(x2-x1)问题：设系统的ml=m2=m，kl=k2=k。求系统的固有圆频率和振型112202000xxmkkxxmkk解：其运动方程22111221222,,,,3,kkkkkkkambmkck即：例题4-1222221222222223940.38223942.6182nnmkmkmkkmmmkmkmkkmm由公式(8)得到：由公式(9)得到：第一振型：第二振型：(1)11(1)22150.618215ArA(2)12(2)22151.618215ArA例题4-1r10.6181r1-1.6181第一振型第二振型从振型图中可见，系统具有两种可能的同步运动，每一同步运动对应一个固有频率，系统在一般情况下的运动则是两种同步运动的叠加，即(1)(2)1111122(1)(2)2211222sin()sin()sin()sin()nnnnxAtAtxAtAt(1)(2)112112222(1)(2)2211222sin()sin()sin()sin()nnnnxrAtrAtxAtAt或例题4-1或(1)12211(2)222sin()11sin()nnrrAtxAt1211rr式中：——称为振型矩阵11112123242211213242(cossin)(cossin)cossincossinnnnnnnnnxrctctrctctxctctctct式(10)展开：cl、c2、c3及c44个常量，决定于两个坐标的初始位移和初始速度。(10)(11)例题4-1设t=0时，x1=x10，x2=x20将cl、c2、c3及c4代入式(11)中，即得双质量弹簧系统在上述初始干扰下的响应。归纳起来，固有振型按(9)式（振幅比）的形式假设，可使齐次微分方程变换为一个代数方程组，令振幅系数矩阵的行列式等于零，就可得到特征方程并求出固有频率与振型，最后利用初始条件求出4个常数，则系统的总响应就确定了。由(11)得到：(12)20.2.10.1.xxxx例题4-2例题4-2：在例题4-1中，设t=0时，x10=x20=1，求该系统在初始条件下的响应。解：已求得该系统的固有频率为22120.382,2.618nnkkmm一、二阶振型分别为r1=0.618,r2=-1.618由(12)求得c1=1.171,c2=0,c3=-0.171,c4=0020.10.xx例题4-21111232122113212coscos0.724cos.277coscoscos1.171cos0.171cosnnnnnnnnxrctrctttxctcttt将以上常数带入(11)在此情况下，系统的响应只有余弦项，如果初始位移为零，而初始速度为非零，则在响应中只出现正弦项，这和单自由度系统的响应是一致的，在这里两个频率对响应都有贡献。如果初始位移之比恰与第一振型之振幅比相等10120()xrx且则其响应为：11012201cos,cosnnxxtxxt系统的响应由纯第一振型组成，即只有第一固有频率对响应有贡献020.10.xx4.2.2有阻尼二自由度系统的自由振动m1m2x1x2c2c1k1k2m1m2k1x1k2(x2-x1)221()cxx11cx可得系统的运动方程为：1112122121222221222122()()00mxccxcxkkxkxmxcxcxkxkx(13)4.2.2有阻尼二自由度系统的自由振动写成矩阵形式为：(14)0MxCxKx11121212221112122212222111212221222200mmmMmmmcccccCcccckkkkkKkkkk其中：4.2.2有阻尼二自由度系统的自由振动方程(14)的解应有以下形式：(15)将(15)带入(14)得：：1122ststxAexAe21111111121221212122222200AmscskcskAcskmscsk为使A1和A2不为零，系数行列式必为零，即可得特征方程:2211111122222212122121()()()()0mscskmscskcskcsk(16)4.2.2有阻尼二自由度系统的自由振动当阻尼较小时，系统作自由衰减振动，方程有以下共辄复数根：(17)式中：1111121121222222ddddsnjsnjsnjsnjn1，n2——衰减系数。ωd1,ωd2——有阻尼时的固有频率(11)21121112221122112211(11)221111111111211121(12)21121212221222122212(12)221112111211211221(21)112211221(21)221121112111AcskmscskrAmscskcskAcskmscskrAmscskcskAcskmrAmscsk22221222122212121(22)21122212222222222222(22)221122112211212221scskcskAcskmscskrAmscskcsk通过公式(16)得振幅比4.2.2有阻尼二自由度系统的自由振动通过公式(15)得到解为：4.2.2有阻尼二自由度系统的自由振动1112212211122122(11)(12)(21)(22)1112122212222(11)(12)(21)(22)2222222ssssttttssssttttxrAerAerAerAexAeAeAerAe(18)112211112222cossin,cossincossin,cossinddddjtjtddddjtjtddddetjtetjtetjtetjt将公式(17)代入(18)得：方程的解可以写成：4.2.2有阻尼二自由度系统的自由振动(18)1211211111121232242211213242(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)ntntddddntntddddxerDtrDterDtrDtxeDtDteDtDt在有阻尼情况下，振幅1nte2nte，，随时间而衰减，最终消失。当阻尼很小时，有阻尼的衰减振动圆频率ωd1,ωd2与无阻尼固有频率ωn1,ωn2均近似相等，振幅rl与，r2与也近似相等，方程的解可写成1r2r12112111112123242211213242(cossin)(cossin)(cos