第四章 整环里的因子分解

70第四章整环里的因子分解§4.1不可约、素元、最大公因子1.证明:0不是任何元的真因子.注这里的0是指整环I的零元,“任何元”是指整环I中的任何元.证明由于0不能整除整环I中的非零元,因此0不是整环I中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I中任何元的真因子.2.找出Gauss整数环},|{][ZZnmnimiI的所有单位.解假设Zba,,使得bia是I中的单位,则存在Zdc,,使得1))((dicbia,从而,1))((2222dcba.由此可见,ibia,1.所以i,1就是I中的所有单位.3.证明:在Gauss整数环][iIZ中,3是不可约元,5是可约元.证明显然,3和5既不是零元,也不是单位.设Zdcba,,,,使得3))((dicbia.于是9))((2222dcba.显然322ba.因此122ba或122dc,从而,bia是单位或dic是单位.所以3是不可约元.由5)2)(2(ii可知,i2和i2都是5的真因子.所以5是可约元.4.设I是整环,Iba,,直接证明:aba)()(～b.证明由于I是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aIa)(,bIb)(.因此)()(ba存在Rsr,,使得rba,saba～b.5.设p是整环I的素元,maaap21|(2m),证明:至少存在一个ia(mi1),使iap|.证明我们用数学归纳法来证明.当2m时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当nm(2n)时,结论成立.当1nm时,根据素元的定义,naaap21|或1|nap.若p不整除1na,则naaap21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个ia(ni1),使iap|.所以当1nm时,我们的断言成立.6.设整环I中任意两个元的最大公因子都存在,maaa,,,21是I中m个不全为零的71元,若mmdbadbadba,,,2211,证明:d是maaa,,,21的最大公因子mbbb,,,21互素.证明假定mmdbadbadba,,,2211.mbbb,,,21不互素I中存在元素',,','21mbbb和非零、非单位的元素c,使得',,','2211mmcbbcbbcbbI中存在元素',,','21mbbb和非零、非单位的元素c,使得',,','2211mmdcbadcbadcbad不是maaa,,,21的最大公因子.所以d是maaa,,,21的最大公因子mbbb,,,21互素.§4.2惟一分解环1.证明:整环},|10{]10[ZZnmnmI不是惟一分解环.证明显然,I10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210.所以I不是惟一分解环.2.证明:Gauss整数环][iIZ中,5是唯一分解元.证明首先,由§1习题第2题知,在I中只有1和i是单位.其次,显然i2都不是零元和单位元.事实上,i2是I中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Zdcba,,,.若idicbia2))((,则5))((2222dcba,由此可见,122ba或122dc,从而,bia是单位或dic是单位.因此i2没有非平凡的因子.所以i2是I中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i,)2(ii,)2(ii也都是不可约元.现在设Zdcba,,,,使得5))((dicbia.(*)于是,25))((2222dcba.由此可见,122ba或522ba.当122ba,ibia,1是I中的单位,从而,dic是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522ba时,bia的值只能是如下八个数之一:i2,)2(i,)2(ii,)2(ii.显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5ii是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式nppp215,必有2n;必要72时,交换1p和2p的下标和次序后,1p与i2相伴且2p与i2相伴.所以5是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环I中,每一个不可约元都是素元.证明设Ip是一个不可约元.任意给定Iba,,并假设abp|.于是,存在Ic,使得pcab.当0a或0b时,显然ap|或bp|.当a为单位时,有pcab1,从而,bp|.同理,当b为单位时,有ap|.现在假定a和b都不是零元和单位.显然,c不是零元,也不是单位.由于I是惟一分解环,不妨设mpppa21,nqqqb21,urrrc21.其中,jp(mj1),kq(nk1)和lr(ul1)都是不可约元.于是,nmuqqqppprrpr212121.(*)由于I是惟一分解环,可以断言:或者存在j(mj1),使得p与jp相伴,从而,ap|;或者存在k(nk1),使得p与kq相伴,从而,bp|.总而言之,ap|或bp|.这样一来,由于Iba,的任意性,我们断言p是素元.4.设I是惟一分解环,maaa,,,21是I中m(2m)个元,证明:在I中maaa,,,21的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明首先,我们用数学归纳法来证明maaa,,,21有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当2m时,结论成立.假设当nm2(n)时结论成立.现在考察1nm的情形:根据归纳假设,不妨设a是naaa,,,21的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d是a与1na的最大公因子.显然,d是121,,,,nnaaaa的一个公因子.假设'd是121,,,,nnaaaa的一个公因子.则'd是naaa,,,21一个公因子.由于a是naaa,,,21的一个最大公因子,因此ad|'.由于1|'nad,因此'd是a与1na的公因子.这样一来,由于d是a与1na的最大公因子,因此dd|'.所以d是121,,,,nnaaaa的一个最大公因子.所以当1nm时maaa,,,21有最大公因子.§4.3主理想环1.设I是主理想环,d是Iba,的一个最大公因子,证明:Its,,使btasd.证明根据定理3.16的推论2,),()()(baba,其中),(ba表示},{ba生成的理想.根据定理4.15,),()(bad.因此)()()(dba.由)()(bad可知,存在Its,,使btasd.2.设I是主理想环,Iba,,证明:ba,互素Its,,使1btas.73证明根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有ba,互素1是a与b的一个最大公因子存在Its,,使1btas)()(1ba),()()()1(baba1是a与b的一个最大公因子.所以ba,互素Its,,使1btas.3.设I是主理想环,Iba,,证明:(1)若ba,互素,且bca|,则ca|;(2)若ba,互素,且ca|,cb|,则cab|.证明(1)当0a时,由bca|可知,0bc;由a与b互素可知,b是单位.因此0c.所以ca|.当a是单位时,显然ca|.假设a既不是0,也不是单位.由于bca|,因此bc既不是0,也不是单位;从而,b和c都不是0.若b是单位,则由bca|可知ca|.现在假定b不是单位.由于I是主理想环,根据定理4.14,I是惟一分解整环.不妨设mpppa21,nqqqb21,其中mppp,,,21和nqqq,,,21都是R中的既约元.于是存在Ik,使得cqqqppkpnm2121.由于a与b互素,因此ip(),,2,1mi与jq(),,2,1nj不相伴.这样一来,由上式可知,c可以表示成如下形式:mpppkc21'.所以ca|.(2)显然,当0a或0b时,0c,从而,cab|;当a是单位或b是单位时,cab|.现在假设a和b既不是0,也不是单位.由于I是主理想环,根据定理4.14,I是惟一分解整环.不妨设mpppa21,nqqqb21,其中mppp,,,21和nqqq,,,21都是I中的既约元.于是,nmqqqpppab2121,nmqqqkppkpc2121'.如果a与b互素,那么,ip(),,2,1mi与jq(),,2,1nj不相伴.这样一来,因为I是唯一分解整环,c可以表示成如下形式:abkqqqpppkcnm''''2121.所以cab|.744.在整数环Z中,求出包含)6(的所有极大理想.证明我们知道,整数环Z是主理想环.设)(a是包含)6(的一个极大理想.根据定理4.4,a是6的真因子.因此2a或3a.所以)2()2(和)3()3(就是包含)6(的所有极大理想.5.在有理数域Q上的一元多项式环][xQ中,理想)23,1(23xxx等于怎样一个主理想?解显然,1x是13x与232xx的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15,)1()23,1(23xxxx.6.证明:)3/(][2xxQ是一个域.证明首先,由于Q是域,根据§3.7中的例1,][xQ是主理想环.其次,显然32x是][xQ中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,)3/(][2xxQ是一个域.§4.4欧氏环1.证明:域F是欧氏环.证明定义}0{\F到到}0{N的映射φ如下:1)(aφ,}0{\Fa.显然,对于任意的}0{\Fa和Fb,存在Fq,使得0aqb.所以F是欧氏环.2.证明:整环},|2{]2[ZZnmnm关于]2[Z到}0{N的映射222)2(nmnmφ是一个欧氏环.证明考察任意的]2[Zα和]2[Zβ:设2baα,,2dcβ其中Zdcba,,,.于是,222222)(2(22222222babcadbabdacbabadcbadcαβ.根据带余除法,存在Zvuqq,,,21,使得uqbabdac122)2(2,)2(21||022bau;vqbabcdad222)2(,)2(21||022bav.令221qqq.则222222222222bavuqbabcadbabdacαβ,从而222)2(baαvuqαβ.75注意到]2[,,Zqβα,由上式可知,]2[2)2(22Zbaαvu.令222)2(baαvur,则]2[Zr,并且rqαβ.当0r时,222222||)2(|)2(|||)(αbavurrφ)(2||22||222222αφbavbau)()(2141αφαφ.所以整环]2[Z关于]2[Z到}0{N的映射φ是一个欧氏环.3．证明:整环},|2{]2[ZZnmnm关于]2[Z到}0[N的映射|2|)2(22nmnmφ是一个欧氏环.证明令},|2{]2[QQbaba.定义]2[Q到Q的映射ψ如下:|2|)2(22babaψ,]2[2Qba,其中Qba,.于是,对于任意的]2[2,2Qdcba(其中Qdcba,,,),我们有)2()2(dcψbaψ|)2)(2(|2222dcba|)2)(2)(2)(2(|dcdcbaba|)2)(2)(2)(2(|