傅立叶变换应用于通信系统滤波

1第五章傅立叶变换应用于通信系统—滤波、调制与抽样学习目标1．理解系统函数H(jω)及傅里叶变换分析法，掌握无失真传输条件。2．了解理想低通滤波器模型，系统的物理可实现条件，熟悉调制、解调的原理与实现。3．掌握抽样信号的传输与恢复，熟悉频分复用与时分复用。教学重点难点重点掌握无失真传输条件。教学内容§5.1引言本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、调制和抽样。傅里叶变换形式的系统函数),()(Ete若)(jE或),()(Rtr)(jR或),()(Hth)(jH或则依卷积定理有对于稳定系统频率响应特性（)(te等于激励)(j0H乘以加权函数）本章共8学时，其中，讲授7学时，讨论课1学时。在授课过程中，要引入当今通信领域的新技术，通过让学生查阅资料，及时研讨，深入理解傅立叶变换在通信领域的应用和发展。tetrERthH)(j)(j)(jHER)(j)(j)(jERH所以jjssHH)(je)(j)(jHH：系统的幅频特性~)(jH~)(：相频特性,e)(0jtte设激励为则系统的零状态响应为)()()(tethtrde)()(j0thde)(e00jjhttH0j0e)(j2系统函数的物理意义系统可以看作是一个信号处理激励：E(j)响应：H(j)·E(j)（对信号各频率分量进行加权）（加权的幅度由)()(HE）（修正的相位由E）对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。§5.2利用系统函数H(j)求响应·系统的频响特性与H(s)的关系·正弦信号激励下的稳态响应·非周期信号激励下系统的响应一．系统的频响特性与H(s)的关系例：二．正弦信号激励下系统的稳态响应，，系统的频率响应为设激励信号为)(j0e)()(sinHHt则系统的稳态响应为说明正弦信号t0sin作为激励的稳态响应为与激励频率的信号，幅度由0jH加权，相移动0。jH代表了系统对信号的处理效果三．非周期信号的响应傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清楚。·用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。)(jee)(j)(jEE)(jhe)(j)(jHH)(j)(j)(jHER)()()(her在虚轴上有极点不同。当极点：在虚轴上及右半平面无当)(j)(jsHsHHthFsHs)()(thtvt即时，求出当输入为ttuCttiCtvth)(1d)(1)()(j1)()(j1)()(thFHsthLsHtitvC)(sin)(000tH3·引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性，简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。总结系统可以看作是一个信号处理器：对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。例5-2-1?3sin,2sin,sinj11j时的输出为多少当输入分别为若tttH解：例5-2-2，利用傅里叶分加入矩形脉冲电路，在输入端下图所示tvRC111析方法求。端电压tv222分析：是一个加权函数，jH加权。对信号各频率分量进行)(j加权，信号的幅度由H修正。信号的相位由211)(jHarctan)(:sint)45sin(21t:2sint)632sin(51t:3sint)723sin(101t)(1tv)(2tvRC112200CvEOt)(1tv4解:求v2(t)波形及频谱图如下：jjjjjssHteFthHEHRjRFtr1RCsRCsCRsCsH1111j1sRC令jjH1的傅里叶变换式为激励信号tvj2j1e1je2SajEEV的傅式变换响应tv22j22j12eje2SajjjjVEVHVj2e1jjjEvje1j1j1Ejje1je1jEEtutuEtutuEtvttee2所以tuEtuEtte1e15说明和下降，波形变圆滑。数规律上升成分。经低通后，以指急剧下降，蕴含着高频急剧上升，输入信号在0tt高的，即带宽增加，允许更称为时间常数，，RCRCRC1频率短。上升，下降时间就要缩分量通过，响应波形的思考题：当输入信号为周期矩形脉冲信号时，输出如何?波形及频谱图)(1tv)(2tvRC1122EOt)(1tvEOt)(2tvOjHOj1VEOj2V122；功率带宽为系统具有低通特性，半。和输入和输出标记为为描述方便，将原来的)()(2010tvtvttvvT101*TnVVnπ2jj111101jjj22HVVnnHV1110jjnnV1120jttvtvT202*6输入为周期矩形脉冲时的输出正弦信号激励下系统的稳态响应)(e)(j)(j:,sin)(2)(j01tvHHttv，求稳态响应若设激励信号解§5.3无失真传输一．失真信号经系统传输，要受到系统函数jH的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成利用频移特性)(π2e0j0t)(π2e0j0t)(1tv)(2tvRC1122EOt)(1tvTTEOt)(2tvTTOjHOj1VTEOj2V122)()(jπ)j(001V)j()j()j(12VHV)()(πje)(j00)(jH)(j0)(j00200e)(e)(jπ)j()j(HV所以)(jj)(jj020000eeeej)j(21)(ttHtv所以)(sin)j(000tH7·幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；·相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。·线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频率成分；·非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。对系统的不同用途有不同的要求：·无失真传输；·利用失真波形变换二．无失真传输条件频谱图几点认识：·要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。·相位特性与成正比，是一条过原点的负斜率直线。·不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。·不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。相位特性为什么与频率成正比关系？只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间t0是相位特性的斜率：幅度可以比例增加可以有时移波形形状不变),j()(Hth已知系统te若激励为tr响应为时不失真那么)()(0ttKetrh(t)tetrteottrot0t)()(0ttKetr因为0je)j()j(tKER所以)j()j()j(HER因为0je)j()j()j(tKERH所以0)j(:tKH即OjHKO0tthttKKHt0j0e)j(8在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。例三．利用失真——波形形成总结系统的无失真传输条件§5.4理想低通滤波器·理想低通的频率特性·理想低通的冲激响应·理想低通的阶跃响应·理想低通对矩形脉冲的响应一．理想低通的频率特性0ddtddtsintOtOt2sintOtt2sinsin2sinttOtO32sinttO32sin2sintt输入输出t1jEjHtrjjHR)()(:0ttKth时域0je)j(:tKH频域0)(,)j(tKH即均为实常数和0tK9cc01jH0t·为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。·c~0在的低频段内，传输信号无失真(0t只有时移)。二．理想低通的冲激响应波形ccO)(jH1Occccj0e1j0tH)(j)(Hth因为de)(j21)(j)(j1tHHFth所以ccttdωee1π21jj0cc0cc0j0)(jej1π21de1π21tttttt0c0cjj0eej211π1tttttt0c0ccsinπtttt0ccSaπttt1t)(tht0tcππc由对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同样的结果。10几点认识1．比较输入输出，可见严重失真；1t信号频带无限宽，而理想低通的通频带(系统频带)有限的c~0当t经过理想低通时，c以上的频率成分都衰减为0，所以失真。系统为全通网络，可以无失真传输。2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统原因：从h(t)看，t0时已有值。三．理想低通的阶跃响应激励j1π)()(t=ute系统响应正弦积分1.下限为0；2.奇偶性：奇函数。3.最大值出现在最小值出现在阶跃响应波形)()(tthccj0e1j)(0tHth)(cc)()()(thtutr0jej1πtR所以c0deej1)(ππ21)()(jj1cttRFtrdjeπ21deπ21cc0cc0jjttttdsinπ2221c00ttxxxttdsinπ1210c00ttx令yxxxy0dsin=)Si(xxsinx1Oπ2ππ3π4ySiyO2π2π11几点认识1．上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，rt记作B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。2．阶跃响应的上升时间tr与网络的截止频率B（带宽）成反比四．理想低通对矩形脉冲的响应讨论crπ21t时，才有如图示，近似矩形脉冲的响应。如果过窄或c过tOtu1trtO210trtcπcπ0cSiπ121tttr1trtO210trtcπ