平稳过程的自相关函数性质

平稳过程的自相关函数性质平稳过程的自相关函数性质1、平稳过程的自相关函数在平稳过程的自相关函数在上的值是非负值。上的值是非负值。在下面将看到表示平稳过程X(t)的“平均功率”。2、即自相关函数在是变量自相关函数在是变量的偶函数的偶函数。0)]([)0(22≥Ψ==XXtXER)()(ττ−=XXRR0=τ)0(XRτ)()]()([)]()([)(ττττ−=+=+=XXRtXtXEtXtXER证明：)()(ττ−=XXCC同理可得，3、即自相关函数在自相关函数在上具有最大值上具有最大值。证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即|)(|)0(τXXRR≥0=τ0)]()()(2)([0})]()({[222≥+++±≥+±τττtXtXtXtXEtXtXE对于平稳过程X(t)，有代入前式，可得于是同理可得：)0()]([)]([22XRtXEtXE=+=τ0)(2)0(2≥±τXXRR|)(|)0(τXXRR≥)()0(2τσXXXCC≥=即自协方差函数在上也具有最大值。0=τ值得注意的是这里并不排除在并不排除在其它其它地方的地方的也有可能出现同样的最大值也有可能出现同样的最大值。例如，随机相位正弦信号的自相关函数，在，n=0，±1，±2，…时，均出现最大值。)(τXRτωατ02cos2)(=XR02ωπτn=22α∴≥|,)(|)0(τXXRRQ4、若平稳过程X(t)满足条件X(t+T)=X(t)，则称它为周期平稳过程，其中T为过程的周期。周期平稳过程的自相关函数必为周期周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同函数，且它的周期与过程的周期相同。证明：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到)()]()([)]()([)(ττττXXRtXtXETtXtXETR=+=++=+)()(ττXXRTR=+0≠τ2022()0XRαπωττ55、若平稳过程、若平稳过程X(t)X(t)含有一个周期分量，那么含有一个周期分量，那么RRxx((ττ))也可能含有一个也可能含有一个同周期的周期分量。同周期的周期分量。例如：设某接收机的输入混合信号X(t)是随机相位正弦信号S(t)和噪声电压N(t)之和。即：)()cos()()()(0tNttNtStX+Φ+=+=ωα例如：X(t)=αcos(ω0t+θ)，θ在(0，2π)上均匀分布，α—常数则自相关函数←与X(t)有相同的周期2π。τωατ02cos2)(⋅=XR式中Φ为在(0，2π)上均匀分布的随机变量，N(t)为平稳过程，且对于所有t而言，Φ与N(t)统计独立。于是，我们很容易求出X(t)的自相关函数为：由此可见，Rx(τ)含有与X(t)相同周期的周期分量Rs(τ)。)(cos2)()()(02ττωατττNNSXRRRR+=+=证明：对于此类非周期平稳过程，当增大时，随机变量X(t)与之间的相关性会减弱；在的极限情况下，两者互相独立，故有：2||)()(limXXXmRR=∞=∞−ττ||τ)(τ+tX)]()([)(ττ+=tXtXERXQ||||||lim()lim[()()]lim[()][()]XXXREXtXtEXtEXtmmττττττ−∞−∞−∞=+=⋅+=⋅即：同理可得2)(XXmR=∞0)()(lim||=∞=∞−XXCCττ22()()lim()()XXXXXXCRmCRmττττ→∞=−∴=∞−Q，66、若平稳过程中不含有任何周期分量，则有、若平稳过程中不含有任何周期分量，则有||τ→∞77、若非周期平稳过程、若非周期平稳过程X(t)X(t)含有平均分量（均值）含有平均分量（均值）,,则自相关函则自相关函数也含有平均分量数也含有平均分量。即。即Xm2Xm2()()XXXRCmττ=+2(0)(0)()(0)()XXXXXXCRRRRσ=−∞=−∞，由于，非周期平稳过程有则有因此在时，可得到2)(XXmR=∞0=τ例1已知平稳过程X(t)的自相关函数为求：X(t)的均值，均方值，方差。解：Rx(τ)中非周期分量Rx(τ)中周期分量10010cos100100)(||10++=−τττeRX)10cos()(10cos210cos100)(121θαταττ+=⇔==ttXRX100100)(||102+=−ττeRX()()()XXXRCRττ=+∞(0)(0)()XXXRCR=+∞8、平稳过程自相关函数的图形不会出现“平顶”，“垂直边”或在幅度上的任何不连续。即是说平稳过程自相关函数中不会含有阶平稳过程自相关函数中不会含有阶跃因子跃因子U(t)U(t)。。)(ωXGω()()XXRGτω↔因为X(t)=X1(t)+X2(t)是平稳过程，所以X1(t)也是平稳过程，即θ在(0，2π)上均匀分布，E[X1(t)]=0。200)0()0(300)0()]([10)()]([)]([0)]([)]([)]([)]([22222212=−====±=∞±==+=+=XXXXXXmRCRtXERtXEtXEtXEtXEtXEtXEσ理由是平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换。如果中含有因子,则中含有Å虚数因子。第三章证明平稳过程的功率谱密度是的实函数，不含有Å虚数因子。则中不含有因子。)(τXR)(τU)(ωXG1[()]jπδωω+)(τXR)(τU⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ωωπδj1)(根据上述8个性质的讨论，我们可以画出平稳过程的自相关函数和自协方差函数的典型曲线。分别如下图所示。)(τXR)(τXC0τ)(τXR)0(XR2Xm2Xσ图aτστ0)(2XXC222()exp()XXXRmτσατ=+⋅−若222()()()exp()XXXXXCRmCτττσατ=−=⋅−由则非周期平稳过程非周期平稳过程0τ)(τXR图b0τ)(τXR图c2Xσ2Xm)]([2tXE0τ)(τXR图d20()()cosXXRmaτωτ+⇒=+常数周期周期220()()cosXXXRmeαττσωτ−×⇒=+⋅×非周期周期非周期20()()cosXReaαττωτ−+⇒=+⇒非周期周期含周期