数学建模

安康学院第七届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了安康学院数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属院系（请填写完整的全名）：教育科学系参赛队员(打印并签名)：1.何静2.龚诗涵3.孙欣指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2015年5月8日埃博拉病毒传播问题摘要：埃博拉病毒病（EVD）是严重的、往往致命的人类疾病，病死率高达90％。埃博拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄。该病毒通过野生动物传到人，并且通过人际间传播在人群中蔓延。病情严重的患者需要获得重症支持治疗，无论对人还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗。由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗，提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护措施，这是减少人类感染和死亡的唯一方法。、本文建立一个埃博拉病毒的数学模型，对疫情进行实证分析；并且对疫情的发展也做了一个预测。当提高隔离率时，处于发病状态的个体数量会减少，因病死亡人数也会减少，对控制疫情有积极效果。模型的建立帮助我们搞清楚了现有干预手段究竟有多大效果，预测表明，隔离措施的严格执行和药物治疗是控制疫情的最好手段。关键词：埃博拉病毒建立模型实证分析预测控制疫情一、问题重述埃博拉病毒至今已多次爆发，很难根除。本题希望我们通过建模来量化病毒传播规律以达到了解疫情和实施有效措施控制疫情的目的。1、仅针对猩猩群体建立病毒传播模型，根据已知数据描述并预测疫情变化，完成第80、120、200周的数据。2、对人和猩猩的群体建立模型，综合描述并预测人和猩猩两个群体疫情的发展，完成第80、120、200周的数据。3、从第41周开始，在实施严格控制人与猩猩的接触和将人群治愈率提高至80%两措施的情况下，对比第2问的预测结果说明措施的作用和影响。完成第45、50、55周数据。.4、据前分析各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的作用。二、符号说明t:单位时间（周）；S1（t）:易患病猩猩的数量；E1（t）:潜伏期猩猩的数量；I1（t）:已患病猩猩的数量；R1（t）:自愈猩猩的数量；D1（t）:死亡猩猩的数量；a:S2（t）:易患病的人的数量；E2（t）:潜伏期的人的数量；I2（t）:已患病的人的数量；G(t):患病被隔离的人；R*（t）:隔离被治愈的人的数量；R2（t）:自愈的人的数量；D2（t）:死亡的人的数量；a:猩猩的自愈率；b:猩猩的死亡率c:猩猩的有效接触率（易患病猩猩一接触患病猩猩则患病称为有效接触）；d:人的自愈率；e:人的死亡率；f:人的有效接触率；k:人的隔离率；g:人的隔离治愈率；1-g:人的隔离死亡率；三、模型假设1、埃博拉病毒变异可通过呼吸传播的情况不会发生；2、该地区人和猩猩均无先天对埃博拉病毒免疫的个体；3、根据埃博拉病毒的特点，原发病体与其所感染的患病体数量相比非常小，因此可假设患病体都是由传染而得病的。4、处于潜伏期的个体必定发病四、问题分析题目按照研究猩猩单独群体、人和猩猩混合群体、隔离措施和药物治疗对病毒传播的影响的顺序层层深入，逐步展开对控制疫情的探索研究。问题一：要求建模描述并预测病毒在猩猩种群中的传播。实际需要找到几个已知数据类即发病个体数、自愈个体数和死亡个体数之间的关系。观察到已知数据中发病猩猩个数、自愈猩猩个数、死亡猩猩个数随时间单调变化，所以考察各变量从时刻t到时刻t+t的增量，然后得到变量关于t的微分方程，编程进行数值计算。通过已知数据验证模型的可靠性，再以此为基础进行预测。其中，要合理处理潜伏群体和处于发病状态个体数量的关系。问题二：建立在问题一的基础上，将人群进行分类。考虑到猩猩感染人而人不感染猩猩，猩猩群体的传播规律不受影响，人类患病者的感染源为患病猩猩和患病的人，这些患病人类中一部分会被隔离治疗，隔离群体则有相对应的治愈率和死亡率，借鉴问题一的想法，找到问题二中给定量和假设量他们之间的关系。然后进一步建立被分类人群（易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人）的数量关系。问题三：采取隔离措施后，人的群体和猩猩的群体相互独立，即猩猩不再将病毒传染给人类。同时，被隔离人群的治愈率提高到了80%。所以对比于第二问，忽略患病猩猩对人的传染，同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8。可将问题二的模型修改直接利用。对措施产生的作用进行探究应从处于发病状态个体的个数和死亡个体的个数的变化入手，考虑干预手段的大小对疾病预防和控制的影响。问题四：注意到前面模型中对患病人群的隔离率没有相应的措施，所以，问题四中应重点分析隔离率对疫情控制的影响，可具体考察与隔离率相关的式子并进行分析。五、模型的建立与求解问题一：1、动态描述：图1（见后页）是对前40周猩猩群体中个体发病、自愈、死亡数量变化趋势的折线图形描述，先纵向分析三者各自的变化趋势，可以看出：前40周，死亡个体数和自愈个体数均随周数增加，发病个体数在前6周波动，后随周数减少，前40周发病个体数和自愈个体数增加的趋势有所减缓；后横向分析，可以看出：前40周，死亡个体数和自愈个体数同时增加，具有一致性，但不确定这种一致性会保持多久，而他们与发病个体数有相反的变化趋势。从以上分析可以得出下面结论：在不具备集体隔离和治疗能力的猩猩群体内，发病和死亡的趋势不会无限进行下去，猩猩们的自愈能力会扭转颓势。2、预测：猩猩的群体可分为5类，分别为易患病猩猩、潜伏期猩猩、患病猩猩、自愈类猩猩、死亡类猩猩。由假设得：潜伏期猩猩2周后均变为患病猩猩。自愈率=自愈猩猩数/（自愈猩猩数+死亡猩猩数）即a=R1/(R1+D1),已知数据中R1与(R1+D1)关系的图形表现为图2（见后页）容易得到a=0.33；对于易患病猩猩，t时刻的数量S1（t）是连续、可微函数，并且每周每个患病猩猩有效接触的易患病猩猩的数量为c，由于易患病猩猩随时间是减少的，所以考察t到t+t时间内易患病猩猩数量的增加量，就有S1（t+t）-S1（t）=-cI1S1t再设t=0时有S0个易患病猩猩，即得微分方程11dt1dSScI(1)依照（1）式的获得方式，即得如下微分方程:)2(1111tEScIdtdE（2）11)2t(11dbIaIEdtI（3）1a1dIdtR(4)11dbIdtD（5）由于方程（1）—（5）无法求出解析，所以利用已知附件数据，通过MATLAB软件进行数值计算，计算所得数据的图表形式如下：（图3，图4，图5，见后页）周数/周（图1）（图2）（图3）（图4）（图5）然后将指定周数的数据填入下表：问题二：混合群体中类似于猩猩群体，人的群体分为8类：易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人。由于人发病后与猩猩的接触可以忽略，所以只有猩猩会感染人而人不会感染猩猩。则猩猩群体病毒传播的规律不发生改变，人的感染源有患病猩猩和患病的人。则人的群体的对应微分方程为：1)21(2dSIIfdtS(6))2(22)21(2dtESIIfdtE（7）2k)22)(k1()2(22dIeIdItEdtI(8)12)k1(2ddIdtR（9）k2IdtdG（10）gkIdtdR2*(11))1(22)1(dt2dDgkIeIk(12)由于在问题二中，模型未知量较多和前40周数据有所波动造成了模型求解的复杂，所以在使用已知数据时，将处于发病状态人数数据的前8周看做第一阶段，以后数据为第二阶段；将被隔离人数数据的前5周看做第一阶段，以后看做第二阶段；另外两组数据完整使用。这样在编程求解时初值做相应改变。通过MATLAB软件进行数值计算，计算所得数据的图表形式如下：(图6）（图7）（图8）（图9）问题三：1、预测：问题三中，采取隔离措施后，人的群体和猩猩的群体相互独立，即猩猩不再将病毒传染给人类。同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8即g=0.8，1-g=0.2。（7）—（12）式修改为：122dSfIdtS)2(2222dtESfIdtE2)22)(1()2(22dkIeIdIktEdtId2)1(2dIkdtRkIdtG2d28.0*dkIdtR22.02)1(dt2dkIeIkD可利用修改过的问题二的模型进行预测。即可完成下表：2、作用和影响说明：严格控制患病猩猩与人类的接触后，人的感染源减少了近40%，使人类处于潜伏期和发病状态的数量大幅减少；药物治疗提高治愈率至80%后，隔离治疗人群的死亡率下降了62%，总的患病人群的死亡率下降了41%，对疫情的控制效果明显。说明干预手段的程度的大小对疾病控制的影响显著。问题四：前述数学模型中疫情控制措施有：隔离措施（切断患病猩猩与人的接触、将患病人隔离）和提高治愈率的措施。前面实现了严格控制患病猩猩与人的接触，并将隔离人群的治愈率提高至80%，对疫情的控制效果比较明显。但患病人群的隔离率k未经改善，观察问题二中（8）式并进行变形得下式：)1(2k)ed(2)2(22dedIItEdtI当提高隔离率时，处于发病状态的个体数量会减少，因病死亡人数也会减少，对控制疫情有积极效果。模型的建立帮助我们搞清楚了现有干预手段究竟有多大效果，预测表明，隔离措施的严格执行和药物治疗是控制疫情的最好手段。六、误差分析用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差。因为它是一种理想化模型。在本题中，建立模型的过程中，微分方程本来就是趋近于一个数，所以会存在误差。七、模型推广本文是从动态的角度研究埃博拉病毒的传播以及对人类健康的影响,这样的研究和分析方法具有一般性,可以推广到其他病毒传播与控制系统的建模和分析中,因此无论是在理论和现实应用上都具有重要意义。八、模型的应用1、本模型适用于埃博拉及其他类似的传染病高峰期的来临。2、本模型能够为预防和控制传染病提供足够可靠的信息。3、本模型有利于在当今医学领域中，分析各种传染病或森林、农业、科学上病虫害的变化规律，度量传染病蔓延的程序并探索制止蔓延手段。九、模型的评价模型优点：1、模型变量全面，描述和联系性强，可以将问题描述清楚并就问题给出可参考答案。2、模型具有灵活性和适应性，如解决问题二时，取用部分数据，模型仍然成。模型缺点：1、变量多，模型实现时遇到了较多困难。2、在进行函数拟合时，有较多点在函数曲线外，误差较大。3、细节处理不到位。模型改进：可以先只找S和I的关系，列微分方程求解，再列E、R、D的微分方程。这样就将一个大问题转化为两个较容易的问题，相当于减少了变量个数，而且更能考虑他们之间的细节关系。十、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）【M】.北京：高等教育出版社，2003.【2】周后卿，徐幼专：埃博拉病毒感染数量的一个数学模型.【3】杨玉华：SARS传染模型的研究及实证分析.