数学建模07全国一等其一 2

1关于中国人口预测问题的模型摘要本文针对我国的人口特点，引入控制理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用，根据以上特点对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型。首先，我们根据所给数据建立了三个反映上述特点的子模型，对于城镇化过程，我们利用logistic曲线建立了一个城镇化模型用以预测城镇化水平，对于出生婴儿的性别差异，我们假设我国进入中等发达国家后，基本不会再有婴儿性别选则，即婴儿性别比恢复自然值，并拟和了婴儿性别比发展规律；最后为了预测老龄化的过程，我们中将人口分为若干段，各段人口构成了一个向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的传递作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡，并由此可以得到反映人口结构的老龄化系数，社会抚养比及适龄劳动人口比，最后为了提高LESLIE控制调节的灵敏度，我们进一步对模型进行了改进，即揉和进上述特点以后，LESLIE矩阵成为一个可以随时间可以自动改变的智能矩阵，这样预测出的结果更加准确，人口系统最终能达到平衡。最后对模型的优缺点进行评价，指出了人口预测模型中的不足，并提出了更合理预测中国人口增长的建议。关键词：反馈控制逻辑斯蒂曲线中国人口增长生育率男女性别比5.3.1问题的重述中国是世界上人口最多的发展中国家.在科学技术和生产力飞速发展的同时，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一.因此，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育.经过30年的艰苦努力，中国在经济还不发达的情况下，有效地控制了人口过快增长，有力地促进了中国综合国力的提高、社会的进步和人民生活的改善.近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点影响着中国人口的增长.例如，人口老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）做出了进一布的分析.附录2是从《中国人口统计年鉴》上收集到的关于中国人口问题的部分数据.关于中国人口问题已有多方面的研究,由于其已严重制约了中国经济的发展,所以对中国人口做出分析和预测始终是一个重要问题.下面考虑两个问题：（1）利用附录2中有关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据),从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型;（2）利用所求模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型中的优缺点.25.3.2问题的分析我们首先对现有数据进行拟合。从拟和得到的图形发现我国城镇化的过程与物种生长曲线极其类似，这可以了解为物种生长过程与城镇化同样大致经历三个过程，即缓慢增长期，快速增长期，饱和期，我们可以利用logistic曲线来模拟。在拟和出生婴儿性别差异时，我们按照实际情况假设1950年以前婴儿性别比为自比指标比例。并且假设我国进入中等发达国家后，基本不会再有婴儿性别选则。即婴儿性别比恢复自然值。并使用了这些数据拟和了符合实际情况的婴儿性别比规律。为了反映老龄化的影响，我们中将人口分为若干段，各段人口构成一个向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡。然后考虑到我国人口增长的特点，即老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些因素通过影响出生率和死亡率中而最终影响人口的增长。考虑到海外人口所占比例很小，根据自动控制的原理，我们可以根据以上因素对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型，假设我国人口系统是一个能控制且稳定系统，即从长期来看我国人口各项指标将达到稳定，并引入控制理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用。5.3.3模型假设及符号规定1.模型的假设（1）为方便计算，记2001年为第1年；（2）表中数据客观真实，具有可靠性；（3）各个年龄的城市乡镇人口比，性别比均与整体的相应比例一致；（4）假设中国人口是一个封闭的系统，没有人口的迁入与迁出；（5）假设在没有政策性变化时（如限制生育年龄，或允许多育），育龄妇女的生育率关于年龄的相对分布是稳定的；（6）假设在未来的很长一段时间内，医学上没有大的革命，死亡率的变化将很小，我们认为其不变.2.符号规定)0(ix：初始时刻第i个年龄组的女性的人数；)(txi：第i个年龄组的女性在时刻t的人数，01()[(),(),,()],0,1,2,;Tmxtxtxtxtti：第i年不同类型人的生育率的权值；)(tbi：第i年龄组中平均每人每年生育并生存下来的人数；)(tdi：在时间t时年龄为i的人的死亡率；3)(tsi：第i年龄组中到1t时生存下来并进入1i年龄组的人的比例),2,1,0(i；)(kaj：第j年的第k种类型的妇女人口(3,2,1k分别代表城市、镇、农村的妇女)。5.3.4模型的建立与求解1.城镇化模型对于乡村人口城镇化问题，我们通过城镇人口占总人口的比率预测城镇人口比率，从而得到城镇化的规律。对于城镇人口比例趋势，我们使用曲线来拟合预测。假设城镇人口的比例为)(tP，)(tP为关于时间t的函数，根据logistic模型，有城镇人口比率增长的速度与))(1)((KtPtP成比例。这里的，K为城镇人口能够达到的比例上限。当)(tP很小时，)(tP差不多近似等于1，所以城镇人口比例的增长速度与)(tP成比例的连续增长，但是，当)(tP大于K5.0时，KtP)(1小于5.0，城镇人口比例增长速度逐渐减慢。根据以上的假定，城镇人口比例增长的速度为))()(1)(()(为比例常数rKtPtrPdttdP解微分方程得：()()1rtKPtmme为常数。利用已知数据用Origin软件拟合函数，得到71175.0K，01625.1m，10623.0r00007.02分布检验值为，中国城市人口可以达到的比例上限为：71175.0K，与其他机构预测的值接近并符合真实情况。因此我们认为我们拟合的函数很好的反应了真实情况。则有tetP10623.001625.1171175.0)(表5-1是通过拟合的函数得到的城市人口比例预测值。4年份20062007200820092010城市人口比例0.4629970.4799010.496190.5118120.526724年份20112012201320142015城市人口比例0.5408950.5543050.5669450.5788130.589917年份20162017201820192020城市人口比例0.6002720.60990.6188240.6270750.634685年份20212022202320242025城市人口比例0.6416870.6481170.654010.6594010.664325年份20262027202820292030城市人口比例0.6688170.6729070.6766290.6800110.683081年份20312032203320342035城市人口比例0.6858650.6883880.6906730.692740.69461年份20362037203820392040城市人口比例0.69630.6978260.6992050.7004490.701572年份20412042204320442045城市人口比例0.7025840.7034970.704320.7050620.705731年份20462047204820492050城市人口比例0.7063330.7068750.7073630.7078030.708199年份20512052205320542055城市人口比例0.7085550.7088760.7091640.7094240.709658年份20562057205820592060城市人口比例0.7098680.7100570.7102270.7103810.710518年份20612062206320642065城市人口比例0.7106420.7107540.7108540.7109440.711025年份20662067206820692070城市人口比例0.7110980.7111640.7112230.7112760.711324年份20712072207320742075城市人口比例0.7113670.7114050.711440.7114710.7114995出生婴儿性别比例预测模型自然条件下出生的婴儿性别比为100:107，将这个婴儿出生比例作为正常值，我们假设在1950年以前，由于技术等原因，无法选择婴儿性别。那时的婴儿出生性别比为自然比例，即100:107。到2050年，我国进入中等发达国家，人的素质会有很大的提高，同时法律也将更加健全。这时几乎可以排除婴儿性别选择。认为性别比例重新回到自然比例。我们将假设的1900到1950年的婴儿性别比例和2050年到2100年的性别比例与题目所给的1994年到2005年的婴儿性别比作为已知值。拟合婴儿性别比例变化曲线，得到婴儿比例的规律，预测未来的婴儿性别比。由于婴儿比例函数两端都有极限，中间取极大值，所以我们选择符合规律的函数：222)(0wxxcAeyy分别按照城市，镇，乡村来拟合,其中城市婴儿拟合曲线如下图：19001950200020502100106107108109110111112113114115Data:Data1_BModel:GaussAmpEquation:y=y0+A*exp(-0.5*((x-xc)/w)^2)Weighting:yNoweightingChi^2/DoF=1.12798R^2=0.86081y0107?.06665xc2004?.12873w23.52?.58641A7.52?.61903YAxisTitleXAxisTitleB其中652.752.2320041070Awxyc，，，，86081.012798.122检验值为；检验值为R。下表是2006年到2020年的城市婴儿比例预测值（更多预测数据参见附录）：年份20062007200820092010市男女婴儿比例（女100计）114.4929114.4590768114.41114.35114.28年份20112012201320142015市男女婴儿比例（女100计）114.1942114.0973457113.99113.87113.74年份20162017201820192020市男女婴儿比例（女100计）113.6023113.4547642113.3113.14112.97同理，下图为镇婴儿比例拟合曲线图19001950200020502100105110115120125130Data:Data1_BModel:GaussAmpEquation:y=y0+A*exp(-0.5*((x-xc)/w)^2)Weighting:yNoweightingChi^2/DoF=12.24383R^2=0.76017y0107?.22473xc2003?.24145w23.52?.405A19.9?.26YAxisTitleXAxisTitleB其中9.1952.2320031070Awxyc，，，76017.012.2438322检验值为；检验值为R。下表是2006年到2020年的城市婴儿比例预测值（更多预测数据参见附录）：9.1952.2320031070Awxyc，，，年份200620072008200920107镇男女婴儿比例（女100计）126.7388126.6142907126.46126.26126.04年份20112012201320142015镇男女婴儿比例（女100计）125.7815125.4951645125.18124.84124.47年份20162017201820192020镇男女婴儿比例（女100计）124.0811123.6692984123.24122.79122.33下图为乡村婴儿比例拟合曲线图190019502000205021001061081101