数学建模_电梯调度问题2 (1)

12电梯调度问题摘要：本文提出了一个如何合理调配现有电梯,使电梯运送效率更高的方案。运用运筹学的基本知识，我们建立了非线性整数规划模型，并运用概率统计和模拟退火算法计算出了模型的解，最后运用综合评价的方法从时间评价指标和能耗评价指标进行评价和优化。针对问题（1），通过分析电梯运行的整个过程，我们可以得到评价电梯服务效率的评价指标有：时间评价指标、能耗评价指标、乘客状态评价指标和乘客容忍度评价指标。上下班高峰期，衡量系统优劣的主要指标有时间评价指标和能耗评价指标。我们运用目标规划的基本知识对系统建立综合评价模型。针对本案例中出现的问题是工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加；由文献可知，电梯的主要能量消耗发生在启停阶段，因此通过减少启停次数可以较少能耗。综上所述，本文以电梯运行的平均时间和总的启停次数作为主要评价指标，对模型进行分析评价。针对问题（2），在合理假设的前提下，运用非线性整数规划的基础知识，建立了非线性整数规划模型（2）。为了简化模型，我们将电梯往返平均时间作为时间评价指标的主要依据，以电梯往返运行总时间作为目标函数，建立数学模型。再对模型进行合理的简化处理后，在matlab中运用模拟退火算法进行求解得到每个电梯运行的平均时间为5489秒，启停的平均总次数为924次，六部电梯分配方案如下：电梯编号允许停靠楼层12、3、17、18219、20、21、2235、6、7、948、12、14510、11、1664、13、15由排队论的知识可知，原模型是一个多对多服务，运用概率统计的知识，可以求解出没有优化前的状态，每个电梯运行的平均时间是10811秒，启停总次数为3939次。针对上述两个指标，我们通过综合评价的方法，对改进后和改进前的状态做出了评价，得分分别是7407.3，3228.可知优化后的方案很好的解决了实际的拥堵和能源损耗过多的问题针对问题（3），我们进一步联系实际，考虑到电梯能够运行到地下1层，地下2层。假定每个楼层到达地下1层、地下2层的高率分别为某一常数，运用非线性整数规划的基本知识建立数学模型。关键字：电梯调度指标非线性整数规划模拟退火综合评价3一、问题重述商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。请你针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。1）请给出若干合理的模型评价指标。2）暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。表1：该写字楼各层办公人数楼层人数楼层人数楼层人数12345678无208177222130181191236910111213141516236139272272272270300264171819202l22200200200200207207请你针对这样的简化情况，建立你的数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。3）将你在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。二、基本假设1、人的体重按正常人的体重计算，每部电梯的最大载重是20人；2、不考虑该写字楼的地下部分；3、电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯；4、假设上下班到达的乘客为已经到达的乘客；5、假设上班高峰期，只有上行乘客没有下行乘客；下班高峰期，只有下行乘客没有上乘客；6、假定乘客上班都从第1层乘电梯至所在办公楼层；下班时间从所在办公楼层乘电梯字第1楼层；7、假设所有电梯能够正常工作；8、假设所有办公人员乘电梯上下班；9、假定电梯每次运行中在允许停留的楼层都停；10、假设电梯运行次数相等；三、符号说明i:表示第i部电梯；j：表示第j层写字楼；4p:表示电梯往返的次数；jc：表示第j层楼的平均办公人数；ipjx：表示第i部电梯第p次往返到达第j层的人数；ipjy：表示第i部电梯第p次往返是否到达第j层，若ipjy=1：表示第i部电梯第p次往返到达第j层；若ipjy=0：表示第i部电梯第p次往返不到达第j层；is：表示第i部电梯允许到达的最高层；im：表示原模型中第i部电梯往返总次数；,im:表示模型（2）中第i部电梯往返总次数；ib：表示原模型中第i部电梯启停总次数；b：表示原模型中所有电梯启停总次数；,ib：表示模型（2）中第i部电梯启停总次数；,b:表示模型（2）中所有电梯启停总次数；1t：表示电梯往返一次平均运行时间；2t：表示电梯往返一次平均停留时间；1T：表示电梯在楼层间平均运行总时间；2T：表示电梯平均停留总时间；t：表示原模型中电梯运行的平均时间；,t:表示模型（2）中电梯运行的平均时间；T：表示原模型时间评价指标（往返总时间=电梯在楼层间平均运行总时间1T+平均停留总时间2T）；,T:表示模型（2）时间评价指标（往返总时间=电梯在楼层间平均运行总时间1T+平均停留总时间2T）；1q：表示电梯启停一次消耗的能量；51Q：表示电梯启停消耗总能量；2Q：表示电梯匀速运行消耗总能量；Q：表示原模型的能耗评价指标（消耗总能量=制动消耗总能量1Q+匀速运行消耗总能量2Q）；,Q:表示模型（2）中的能耗评价指标；jiP,：表示乘第i部电梯人是到第j层的概率；ijz:第i个被评价对象的第j项指标的指标值ijz四、问题分析工作日里每天早晚上下班高峰时期，某写字楼电梯非常拥挤，而且等待时间明显增加。如何合理地调控使用现有的电梯，提高电梯的服务效率，尽量减少人流的乘梯等待时间和乘梯时间是电梯的首要任务。由于假定上班高峰期，办公人员从第1层乘电梯至所在办公楼层；下班高峰期，办公人员从所在办公楼层乘电梯至第1层，所以上下班高峰期乘电梯是互逆的过程。因此只需通过分析上班高峰期，并建立模型，即可得到合理的优化方案。在问题（1）中，由于是高峰期，在电梯载重量允许的条件下，电梯承载尽可能多的人，即电梯内的拥挤程度对模型优劣性的影响可以忽略。针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，在满足基本要求的基础上，可以通过合理分配电梯，是电梯尽量高效、经济的运送乘客。为了使候梯者满意,需要使等待时间尽量短；为使乘客满意,应使行程时间尽量短；为体现节能,必须尽量减少起制动的次数，用来衡量电梯群控系统服务性能的评价指标由时间评价指标T、能耗评价指标Q两部分组成。因此,电梯群控系统的优化目标主要有减少电梯往返总时间（包括电梯在楼层间的平均运行总时间和平均停留总时间）、减小系统能耗(RNC)。在问题（2）中，为解决电梯拥挤和等待电梯时间明显增加，建立合理的电梯调度模型，对题中条件每层楼之间的平均运行时间、平均停留时间进行分析，可得现有的电梯不限楼层停的方案，极大的占用了电梯资源、明显增加了电梯运行时间和等待时间、增加了系统能耗。在本问题中暂不考虑该写字楼地下部分，即假定所有乘客上班时间从第1乘电梯至所在办公楼层，下班时间从所在办公楼层乘电梯字第1楼层。针对上班高峰期，为了简化模型，我们假设乘客已完全到达第1层电梯前等待乘电梯到所在办公楼层。我们通过限制电梯的停靠楼层，使相同楼层办公人员相对集中的乘坐某一部或多部电梯，进而减少停靠次数，减少平均停留总时间；同时通过限制电梯停靠楼层，很可能会使某些电梯不到达最高层，减少了电梯在楼层间的平均运行总时间。根据题中条件可得，本模型有电梯容量和楼层平均办公人数两个约束：由于是上班高峰期，我们可把每部电梯每次运行都看作满载，即每次均载20人；为了满足基本要求，使每个人都能层电梯到达办公楼层，需限制能够运载到第j层的总人数大于或等于该层平均办公人数。查6阅关于非线性整数规划的电梯调度问题的相关数据可知:①对于电梯使用较为拥挤的单位,在上班高峰期,通过对电梯设置停靠层并进行分组可以提高电梯运行效率；②电梯分组越多，效率越高，一个楼层有且仅有一部电梯停靠时效率最高（楼层数不小于电梯部数）。在问题（3）中，在实际生活中,上班高峰期乘客并不是已经完全到达而是陆续到达,在某段时间内乘客的到达比率为λ,通过查资料可得,人流到达符合函数,对模型进行进一步改进下班高峰期，并不是每一位办公人员都从所在办公楼层出发至第1层，也并不是所有从所在办公楼层出发的办公人员都直接到达第1层，因此应根据实际情况，根据长期的观测和统计资料进一步改进模型。考虑写字楼两层地下停车场,一般情况下要到达地下一层、地下二层的每层楼人占该层楼总人数的比例接近于某一常数。因此可将乘客分为分为第1层出发（到达）、地下1层出发（到达）、地下2层出发（到达）三个部分组成，进一步建模，优化（2）中得模型。五、模型的建立5.1针对问题（1）5.1.1时间评价指标T通过分析可知建立模型的优劣，可通过系统电梯往返运行总时间的长短来反映，有条件可知电梯往返总时间T有电梯在楼层间平均运行总时间1t和电梯平均停留总时间2t两部分组成。即：T=1T+2T(1)5.1.2能耗评价指标根据查询到的资料得：电梯有一部分能耗是消耗在电梯启动和制动过程中。在高层建筑中，人们既需要达到节能又需要使电梯运行效率达到最高。针对本案例中有多台电梯的情况，可通过设置电梯停靠层，减少停靠次数，使得电梯恒速距离越增长，回馈的能量越多，这样电梯可以降低能耗。另外电梯匀速运行时的能量消耗远远小于电梯在加速、减速时的能量消耗，所以电梯的能量消耗主要取决与电梯的启停次数。设电梯启停次数为b，则电梯启停消耗的总能量11qbQ（2）由于电梯消耗的能量主要取决于电梯的启停次数，则电梯启停消耗能量1Q约等于电梯消耗的能量Q。即1QQ、(3)5.1.3针对问题（1）建立数学模型综合考虑时间评价指标和能好评价指标，对方案优劣性的影响，运用目标规划的基本知识建立数学模型：QwTw21min模型（1）75.2针对问题（2）每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒,电梯i每往返一次的平均运行时间1t，则有：21t31is（4）最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层平均停留时间是10秒，电梯i每往返一次平均停留时间为2t，则2t=20+isjipjy110（5）电梯往返运行总时间T的求解公式为：T=iimtt6121（6）则目标函数即为Z=minT(7)由于是上班高峰期，故假定电梯每次满载是合理的。在建模过程中，只需先约束电梯每次都为满载运行，在约束电梯运送到每层的人数大于或等于该层平均办公人数即可（也即是设立虚拟人使电梯满载，模型中运送到各个办公楼层的总人数由实际人和虚拟人两部分组成，应大于或等于该层平均办公人数）。电梯运行过程中载重量的限制为：201ipjsjipjyxi（8）电梯运送到每楼层的平均办公人数的限制为：ipjmpiipjyxi161=jc（9）则建立的模型为：Miniisjipjimysi6111020312模型（2）8iiiiipjjmpiipjipjsjipjipjmjsissjiycyxyxstii....3,2,122.....4,3,2,16,5,4,3,2,12211611,02016115.3针对问题（3）假定电梯在从地下1层、地下2层出发的电梯在地下1层、地下2层的停留时间为20秒，在地上1层的停留时间为10秒；地下2层至地下1层、地下1层至地表的运行平均时间也为3秒。根据问题（2）针对考虑地下两层是进行建模：设每层到达地下1层、地下2层的概率分别是jl1、jl2