普通物理学3-2

上页下页返回退出上页下页返回退出ZO转动平面rAFMrFMZM沿Z轴分量为对Z轴力矩ZMMFsinrFMFrM对O点的力矩：F一、力矩§3-2力矩转动惯量定轴转动定律上页下页返回退出上页下页返回退出力不在转动平面内注（1）在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。FrM只能引起轴的变形,对转动无贡献。1Fr转动平面1FrFr2Fr)(21FFr21FrFrr上页下页返回退出上页下页返回退出是转轴到力作用线的距离，称为力臂。sinrddFrFMZ22sin（2）（3）对转轴的力矩为零，1Fr在定轴转动中不予考虑。（4）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示。转动平面1FF2Fr上页下页返回退出上页下页返回退出o描写刚体转动位置的物理量。Px在转动平面内，过O点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右，则OP与极轴之间的夹角为。角称为角坐标（或角位置）。角坐标为标量。但可有正负。二、刚体转动的角量描述1.角坐标上页下页返回退出上页下页返回退出描写刚体位置变化的物理量。角坐标的增量：称为刚体的角位移xyPp2v1vR描写刚体转动快慢和方向的物理量。tt0limddt角速度方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。2.角位移3.角速度上页下页返回退出上页下页返回退出ω角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。刚体上任一质元的速度表示为：rvvrtt0limddtrv,ddddtvarrtt刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：22,rrvan3.角加速度上页下页返回退出上页下页返回退出a0a0角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。说明：角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。上页下页返回退出上页下页返回退出应用牛顿第二定律，可得：ωOiFrifriiimirr对刚体中任一质量元im-外力iF-内力ifiiiimafF采用自然坐标系，上式切向分量式为：sinsiniiiiiiiiFfmamrO’三、刚体定轴转动定律上页下页返回退出上页下页返回退出用乘以上式左右两端：ir2sinsiniiiiiiiiFrfrmr设刚体由N个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N个方程左右相加，得：2111sinsin()NNNiiiiiiiiiiiFrfrmr根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：0sin1Niiiirf上页下页返回退出上页下页返回退出刚体定轴转动定律211sin()NNiiiiiiiFrmr得到：上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J表示。于是得到ddMJJt刚体定轴转动定律上页下页返回退出上页下页返回退出（4）J和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。（3）J和质量分布有关；（2）M的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；ddMJJt惯性大小的量度；α转动惯量是转动（1）M一定，J讨论：上页下页返回退出上页下页返回退出mrJd2dm—质元的质量r—质元到转轴的距离刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式按转动惯量的定义有iimrJ2三、转动惯量区别：平动：ddvFmt线动量mv平动定律转动：ddzMJt角动量J转动定律转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。上页下页返回退出上页下页返回退出例题3-1求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。xo解:(1)建立坐标系，分割质量元dxx2dJxm2121ml222dllmxxl上页下页返回退出上页下页返回退出xohxodxx2dJxm20dlmxxl231mlJ与刚体质量、质量分布、轴的位置有关(2)建立坐标系，分割质量元（3）建立坐标系，分割质量元dxx2dJxm22112mlmh222dlhlhmxxl上页下页返回退出上页下页返回退出平行轴定理定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量J，等于绕质心轴的转动惯量JC加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：2mdJJC刚体绕质心轴的转动惯量最小CJJmR221mRJC如：2mRJJC2221mRmR上页下页返回退出上页下页返回退出例题3-2求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。rRdr解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm=2rdr。可得423201d2d22RRJrmrrmR上页下页返回退出上页下页返回退出例题3-3一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m2如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为m。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、T1’(T1’=T1)，物体2这边的张力为T2、T2’(T2’=T2)上页下页返回退出上页下页返回退出因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程JMrTrTamTGamGT12222111式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得ra上页下页返回退出上页下页返回退出mmmrMgmmrJmmrMgmmar21//121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212＋－mmmrMgmmmagmT21/212122111而上页下页返回退出上页下页返回退出rmmmrMgmmra21/1212当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有gmmmmTT1221212gmmmma1212上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。上页下页返回退出上页下页返回退出例题3-4一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。上页下页返回退出上页下页返回退出此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是22003ddddd23RMrmggrrergerrgeR因m=eR2，代入得mgRM32根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.上页下页返回退出上页下页返回退出221d32dmgRJmRt设圆盘经过时间t停止转动，则有00021dd32tgtR由此求得043gRt上页下页返回退出上页下页返回退出选择进入下一节§3-0教学基本要求§3-1刚体模型及其运动§3-2力矩转动惯量定轴转动定律§3-3定轴转动中的功能关系§3-4定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律§3-5进动§3-6理想流体模型定常流动伯努利方程§3-7牛顿力学的内在随机性混沌