电路分析7.1

§7－1电容元件一、电容元件电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由uq平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。图7-5a)电容元件的符号(c)线性时不变电容元件的符号b)电容元件的特性曲线(d)线性时不变电容元件的特性曲线图7-5线性时不变电容元件的符号与特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为)117(Cuq图7-5电容的电路模型：图7－6电容器的几种电路模型二、电容元件的电压电流关系)127(ddd)(ddd)(tuCtCutqti电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图所示，与电压参考方向关联的电流为A)5cos(50A)5cos(1050d)]5sin(10[d10dd)(66tttttuCti图7－7例7-1已知C=0.5F电容上的电压波形如图7－8(a)所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画出波形图。图7－8例7－1A1=A101d)2(d105.0dd)(66CCtttuCti2.当1st3s时，uC(t)=4-2t，A1A101d)24(d105.0dd)(66CCtttuCti1.当0t1s时，uC(t)=2t，解：根据波形的具体情况，按照时间分段来进行计算3.当3st5s时，uC(t)=-8+2t，A1A101d)28(d105.0dd)(66CCtttuCti4.当5st时，uC(t)=12-2t，A1A101d)212(d105.0dd)(66CCtttuCti图7－8例7－1在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为)137(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0CC00CCCCtttiCuiCiCiCtu其中0CCd)(1)0(iCu称为电容电压的初始值。(1)电容电压的记忆性。任意时刻T电容电压的数值uC(T)，要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T的电压都有一定的贡献。)137(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0CC00CCCCtttiCuiCiCiCtu例7-2C=0.5F的电容电流波形如图所示，试求电容电压uC(t)。图7-9解：按照时间分段来进行计算1．当t0时，iC(t)=0，ttiCtu6CC0d0102d)(1)(2．当0t1s时，iC(t)=1A，V2)s1(s1220d10102)0(d)(1)(C066CCCutttuiCtutt时当3．当1st3s时，iC(t)=0V2)s3(s32V=0+V2d0102)1(d)(1)(C16CCutuiCtutCt时当4．当3st5s时，iC(t)=1A6V=4V+V2)s5(s53)2(t+2d10102)3(d)(1)(C366CCCutuiCtutt时当5．当5st时，iC(t)=06V0+V6d0102)5(d)(1)(56CCCttuiCtu当1st3s时，电容电流iC(t)=0，但是电容电压并不等于零，电容上的2V电压是0t1s时间内电流作用的结果。图7-9峰值检波器电路图7－10峰值检波器电路的输入输出波形(2)电容电压的连续性电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。证明:去积分区间t1Tt2和t1T+dtt2，得到有界时当)(0d)(1)()d(d0dCCCiiCTutTuutTTt当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用下式表示对于初始时刻t=0来说，上式表示为)147()0()0(CCuu)()(CCtutu利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值。例7-3所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，即0dd)(CCtuCti图7-11电容相当于开路。此时电容电压为S212C)0(URRRu当开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到S212CC)0()0(URRRuu图7-11例7-4电路如图7－12所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开关闭合后一瞬间，电容电压uC1(0+),uC2(0+)。解：（1）开关闭合后，两个电容并联，得到：)0()0(C2C1uu图7－12（2）开关闭合前后结点的总电荷相等，遵循电荷守恒定律，可以得到：)0()0()0()0(C22C11C22C11uCuCuCuC联立求解以上两个方程，代入数据后得到V3)0()0(C2C1uu由于电路中电阻为零，电荷的移动可以迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压可以发生跃变。三、电容的储能在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为tuCtutitutpdd)()()()(电容是一种储能元件，它在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为)]()([21)()(),(022)()(0000tutuCuduCddduuCdpttWtututttt若电容的初始储能为零，即u(t0)=0，则任意时刻储存在电容中的能量为)157()(21)(2CtuCtW某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。当C0时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。)157()(21)(2CtuCtW