电路分析9.4

§9－4一般二阶电路分析例9-9图9-10(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，已知uS(t)=6e-3tV，t=0闭合开关。试求t0时电容电压uC(t)的全响应。解：先求出电容电压和电感电流的初始值为A1)64(V10)0()0(V6V10646)0()0(LLCCiiuu由此得到t0的电路如图(b)所示。图9-10以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为变量，列出两个网孔的KVL方程0dd16)dd41(4LLCSCLCtiiuuuitu从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是引用微分算子将以上微分方程变换成代数方程tsdd0)6(4)1(LCSLCisuuius用克莱姆法则求得107)6(4)6)(1()6(2SSCssusssusu将上式改写为SC2)6()107ususs（最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶微分方程SSCC2C26dd10dd7ddutuututu从特征方程0)1072ss（求得特征根，即固有频率为5221ssuC(t)的固有响应为ttKKtu5221Chee)(uC(t)的强制响应为tBtu3Cpe)(代入微分方程中得到tttttBBB33333e36e18e10e21e9求得B=-9，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应为tttKKtututu35221CpChCe9ee)()()(现在利用初始条件确定常数K1和K2。将uC(0+)=6V代入上式得到69)0(21CKKu另外一个初始条件可以从代数方程中求得)0(ddCtuCLSC4uiusu反变换得到与uC(0+),iL(0+),uS(0+)的关系式)0(ddCtu4646)0()0(4)0()0(ddCLSCuiutu得到42752)0(dd21CKKtu联立求解以上两个代数方程可以得到3134421KK最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式)0(Ve9e31e344)(352Cttuttt从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程和求解微分方程所需的初始条件。69)0(21CKKu42752)0(dd21CKKtu建立二阶微分方程的主要步骤如下：1.以uC(t)和iL(t)为变量列出两个电路微分方程。2.利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。3.联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中x表示电容电压uC(t)或电感电流iL(t)，P(s),Q(s)是s的多项式。4.将x=P(s)/Q(s)改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出二阶微分方程。例9-10电路如图9-11所示，已知r＝4，列出以uC(t)为变量的电路微分方程。图9-11解：以iL(t)和iC(t)为网孔电流列出网孔方程SCCLLCSCLL52)(423dduuiiiiuiiti代入电容的VCR方程tutuCiddddCC得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程SCCLSCLLdd52dd67dduutuiutuiti引用微分算子将以上微分方程变换成代数方程tsddSCLSCL)15(26)7(uusiusuis用克莱姆法则求得SSusssussssu7245512)15)(7()27(2C反变换得到二阶微分方程SSCC2C25dd7dd24dd5utuututuSCLSCL)15(26)7(uusiusuis微分方程变换成代数方程从代数方程中还可求出求解微分方程所需的另外一个初始条件)0(2.0)0(4.0)0(2.0)0(CLS'Cuiuu从特征方程5s2+24s+7=0还可以求得固有频率为86.294.1457.04.210754242422,1s例9-11电路如9-12图所示，列出以电容电压uC1(t)和uC2(t)为变量的电路微分方程。解：以结点电压uC1(t)和uC2(t)为变量列出结点方程06.0dd351.02.01.03.0dd2C2C2C1C1SC2C1C1utuuuuuutu图9-12引用微分算子将以上微分方程变换成代数方程tsdd0)6.03(9.42.01.0)3.02(C2C1SC2C1usuuuus用克莱姆法则求得S2SC2S2SC167.01.2698.049.0)6.03)(3.02(9.42.067.01.2612.06.049.0)6.03)(3.02()6.03(2.0ussussuusssusssu反变换可以得到以电容电压uC1(t)和uC2(t)为变量的二阶微分方程为SC2C22C22SSC1C12C128.97.6dd21dd602.1dd67.6dd21dd60uututuutuututu＋为了得到和，先从代数方程中可以求得)0('C1u)0('C2u2C1C1C2C1CS1C2.039.405.015.01.0uusuuuusu再反变换得到求解微分方程需要的初始条件和)0('C1u)0('C2u)0(2.0)0(633.1)0()0(05.0)0(15.0)0(1.0)0(C2C1'2C2C1S'1uuuuuuuCC例9-12电路如图9-13所示，以uC(t)为变量的列出电路微分方程。解：以iL(t)和uC(t)为变量列出两个网孔的KVL方程0dd)2()(dd2ddCCLSCLLutuCrRiRrutuRCRitiL图9-13引用微分算子将以上微分方程变换成代数方程tsdd01)Cs2()()2(CLSCLurRCsiRruRCsuiRLs用克莱姆法则求得RsrRCCRLLCsrRurRRCsRrrCsRCsRLsuRru2)3()2()()()1)(22()(22SSC反变换可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程SCC22C2)(2dd)3(dd)2(urRRuturRCCRLtuLCrR当r=R时，变为齐次微分方程，响应与电源电压uS(t)无关，且具有零输入响应的性质。假设改变电路参数，令r=2R时，二阶项的系数为零，以上方程变为SCC22dd)(RuRutuCRLSCC22C2)(2dd)3(dd)2(urRRuturRCCRLtuLCrR