正余弦定理题型总结(全)汇总

1平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量ba,共线的充要条件是（）A.ba,方向相同B.ba,两向量中至少有一个为零向量C.存在,RabD存在不全为零的实数0,,2121ba变式一：对于非零向量ba,，“0ba”是“ba//”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设ba,是两个非零向量（）A.若baba_则baB.若ba，则baba_C.若baba_，则存在实数，使得abD若存在实数，使得ab，则baba_例二：设两个非零向量21ee与，不共线，（1）如果三点共线；求证：DCAeeCDeeBCeeAB,,,28,23,212121（2）如果三点共线，且DCAekeCDeeBCeeAB,,,2,32,212121求实数k的值。变式一：设21ee与两个不共线向量，,2,3,2212121eeCDeeCBekeAB若三点A,B,D共线，求实数k的值。变式二：已知向量ba,，且,27,25,2baCDbaBCbaAB则一定共线的三点是（）A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABC所在平面内的一点，,2BABCBP则（）A.PBPA0B.PAPC0C.PCPB0D.PBPAPC0变式一：已知O是三角形ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且OCOBOA20,那么（）A.ODA02B.ODA20C.ODA30D.ODA02变式二：在平行四边形ABCD中aAB，bAD，NCAN3,M为BC的中点，则MN(用ba,表示)例二：在三角形ABC中，cAB，bAC,若点D满足DCBD2,则AD()A.,3132cbB.,3235bcC.,3132cbD.,3231cb变式一：(高考题)在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,aCB，bCA,2,1ba,则CD()A.,3231baB.,3132baC.,5453baD.,5354ba变式二：设D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点，且,2BDDC,2EACE,2FBAF则CFBEAD,与BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AFAEAC,其,,R则=变式四：在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若,aAC,bBD则AF()A.,2141baB.,3132baC.,4121baD.,3231ba题型三：三点共线定理及其应用例一：点P在AB上，求证：OBOAOP且=1（,,R）变式：在三角形ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M和N,若,AMmAB,ANnAC则m+n=例二：在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设,aAB,bBC则AHA.,5452baB.,5452baC.,5452baD.,5452ba3变式：在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上一点且AN=2NC,AM与BN相交于点P,若,PMAP求的值。题型四：向量与三角形四心一、内心例一：O是ABC所在平面内一定点，动点P满足），【0),(ACACABABOAOP，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心变式一：已知非零向量AB与AC满足0)(BCACACABAB，且21ACACABAB，则ABC为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形变式二：0PBCAPABCPCABP为ABC的内心二、重心例一：O是ABC内一点，0OBOAOC，则为ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心变式一：在ABC中，G为平面上任意一点，证明：)(31GCGBGAGOO为ABC的重心变式二：在ABC中，G为平面上任意一点，若)(31ACABAOO为ABC的重心三垂心：例一：求证：在ABC中，OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心变式一：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足,),(RCOSCACACCOSBABABOAOP则点P的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心四外心例一：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，则OBOCOAOH4变式一：已知点O，N，P在ABC所在平面内，且,OCOBOANCNBNA0，PAPCPCPBPBPA，则O，N，P依次是ABC的（）A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心题型五：向量的坐标运算例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CBCNCACM2,3,试求点M,N和MN的坐标。变式一：已知平面向量向量),23,21(),1,3(ba,b3）（tax,btaky其中t和k为不同时为零的实数，（1）若yx，求此时k和t满足的函数关系式k=f(t);(2)若yx//，求此时k和t满足的函数关系式k=g(t).变式二：平面内给定3个向量)1,4(),2,1(),2,3(cba，回答下列问题。（1）求cba23；（2）求满足cnbma的实数m,n;(3)若)2//()(abcka，求实数k；（4）设)//()(),(bacdyxd满足且1cd，求d。题型六：向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量)2,3(),21(ba，,当实数k取何值时，向量bak2与ba42平行？变式一：设向量a,b满足|a|=52，b=（2,1），且a与b反向，则a坐标为_________例二：已知向量)10,(),5,4(),12,(kOCOBkOA且A,B,C三点共线，则k=（）A:23B:32C:32D:23变式一：已知),31,(cos),sin23(ba，且a//b，则锐角α为__________变式二：△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量),,(),,(acabqbcap若qp//，则∠C的大小为（）A:6B:3C:2D:32题型七：平面向量的数量积例一：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则ACAB（）A：-16B:-8C:8D:165（2）(高)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则CBDE的值为______；CBDE的最大值为_______（3）在△ABC中，M是BC中点，AM=1，点P在AM上满足PMAP2，则)(PCPBPA等于（）A:94B:34C:34D:94变式一：(高)如图所示，平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则ACAP=_______变式二：在△ABC中，AB=1，BC=2，AC=3，若O为△ABC的重心，则ACAO的值为________例二：(高)在矩形ABCD中，AB=2,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若2AFAB,则BFAE的值是变式一：(高)在△ABC中，090A,1AB,AC=2.设点P,Q满足RACAQABAP,)1(,,若2CPBQ,则=（）A:31B:32C:34D:2例三：已知向量cba,,满足,2,2,1,0cbacba则accbba变式一：在△ABC中，若,6,4,3ACBCAB则ABCACABCBCAB变式二：已知向量cba,,满足,2,1,,0babacba且则c变式三：已知向量cba,,满足,1,,),0abacbacba若且（则222cba题型八：平面向量的夹角例一：已知向量),0,2(),3,1(ba则ba与的夹角是例二：已知ba,是非零向量且满足,)2(,)2bababa（则ba与的夹角是变式一：已知向量cba,,满足,,,2,1cabacba则ba与的夹角是6变式二：已知ba,是非零向量且满足,baba则baa与的夹角是变式三：若向量ba与不共线，,)(,0bbaaaacba且则ca与的夹角是变式四：(高)若向量与满足,1,1且以向量与为邻边的平行四边形的面积为０.５，则与的夹角的取值范围是例二：已知1,2ba，ba与的夹角为045，求使向量ba与ba的夹角为锐角的的取值范围。变式一：设两个向量21,ee，满足1,221ee，21ee与的夹角为3，若向量2172ete与21ete的夹角为钝角，求实数t的范围。变式二：已知ba与均为单位向量，其夹角为，有下列4个命题：);32,0[1:1bap];,32(1:2bap);3,0[1:3bap];,3(1:4bap其中的真命题是（）A.41,ppB.31,ppC.32,ppD.42,pp题型九：平面向量的模长例一：已知5ba，向量ba与的夹角为3，求ba，ba。变式一：已知向量ba与满足2,2,1baba，则ba=变式二：已知向量ba与满足,2,1baba与的夹角为3，则ba=变式三：在△ABC中，已知,60,4,30ABCBCAB求AC.例二：已知向量ba与的夹角为32，,13,3baa则b=变式一：(高)已知向量ba与的夹角为4，且,102,1baa则b=变式二：设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，162BC,ACAB=ACAB,则AM7变式三：已知向量)2,1(),4,2(ba，若,)(bbaac则c例三：已知向量),0(,，满足1，且，则的夹角为与0120的取值范围是变式一：已知单位向量cba,,，且0ba，cbacbca则,0)()(的最大值为变式二：(高)已知直角梯形ABCD中，AD//BC,090ADC,AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则PBPA3的最小值为题型十：平面向量在三角函数中的应用例一：在△ABC中，A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知向量)cos1,(sin),sin2,1(AAnAm，且满足acbnm3,//（1）求A的大小（2）求)6sin(B的值变式一：已知变量)3cos3,3(sin),3cos,3(cosxxnxxm，函数nmxf)(（1）求f(x)解析式（2）求f(x)的单调递增区间（3）如果△ABC的三边a,b,c满足acb2，且b边所对的角为x，试求x的范围和此时f(x)的值域变式二：已知向量2,0),23sin,2(cos),23sin,23(cosxxxbxxa（1）求证a·b及|a+b|（2）定义f(x)=a·b-2m|a+b|,若函数f(x)的最小值为23，求实数m的值变式三：在三角形ABC中，已知BCBAACAB3（1）求证ABtan3tan（2）若55cosC，求A的值8题型十一：平面向量在解析几何中的应用例题一：设曲线C上任意一点),,)(,(RyxyxM满足向