01南航戴华《矩阵论》第一章线性空间与内积空间

矩阵论怀丽波目录第一章线性空间与内积空间（4学时）第二章线性映射与线性变换（4学时）第三章l矩阵与矩阵的Jordan标准形（6学时）第四章矩阵的因子分解（8学时）第五章Hermite矩阵与正定矩阵（4学时）第六章范数与极限（6学时）教学目的：理解线性空间和内积空间的概念掌握子空间与维数定理了解线性空间和内积空间同构的含义掌握正交基及子空间的正交关系掌握Gram-Schmidt正交化方法线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。例4次数不超过的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间n[]nRx例3闭区间上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间[,]ab[,]Cab例2所有阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间。mn()mmnnCR例1所有n维实（复）向量按向量的加法和数乘，构成线性空间Rn(Cn)。例5集合不是一个线性空间。因为加法不封闭。1212{[,,1],,}TVxxxxxxR例6线性非齐次方程组的解集Axb11{|,}nmnnrnrVRCCAR不构成线性空间，这里是对应齐次方程组的一个基础解系，为的一个特解。AxbAx1,,nr向量的线性相关性：线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推广到一般线性空间。证明：取k1，k2，k3∈R，令k11+k22+k33则有k1-k2=0,k2+k3=0该方程组有非零解，所以1,2,3线性相关.0000110011010001321kkk证明：取1=2=3=则1,2,3线性无关.对线性空间V中的任一向量可表示成A==a111+a122+a223即A可由1,2,3线性表出。所以Dim（V）=301101000000122121211aaaa注:（1）若把线性空间看作无穷个向量组成的向量组，那么的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.VVV（2）个数与线性空间的维数相等的线性无关组都是的基.VV例1.3.1线性空间是实数域上的二维空间，其基可取为，即C中任一复数k=a+bi（a,bR）都有a+bi=(1,i)(),所以(a,b)T即为k的坐标。CR{1,}iab例1.3.2实数域R上的线性空间R[x]n中的向量组1，x，x2,…xn-1是基底，R[x]n的维数为n。例1.3.3实数域R上的线性空间的维数为nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）第i行第j列的元素为1，其它的都为0。nnR例1.3.4在线性空间中，显然是的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是3[]Px21231,,xx3[]Px2324xx(3,2,4).T证明也是的基,并求及在此基下的坐标。21231,(2),(2)xx123,,3[]Px(3,2,4)Tx由题，在基下的坐标为123,,1124301420014yPx而且，基到基的过渡矩阵为123,,123,,124014001P所以23184例1.3.5已知矩阵空间的两组基：22R12341010(),,01010101,1010IAAAA12341111(),,11101110,0000IIBBBB求基(I)到基(II)的过渡矩阵。解引入的标准基：22R111221221001(),,00000000,1001IIIEEEE显然11122111221221100(,,,)0101AEEEEEE类似地，21122111221221100(,,,)0101AEEEEEE31221111221220011(,,,)1010AEEEEEE则基(III)到基(I)的过渡矩阵为11100001100111100C41221111221220011(,,,)1010AEEEEEE而基(III)到基(II)的过渡矩阵为21111111011001000C所以1234111221221(,,,)(,,,)AAAAEEEEC1234111221222(,,,)(,,,)BBBBEEEEC从而112CCC1123421(,,,)AAAACC因此基(I)到基(II)的过渡矩阵为211101111.2221000101234111221222(,,,)(,,,)BBBBEEEEC注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。N(A)称为矩阵A的零子空间或核空间,也记为Ker(A)；例1.4.1对于任意一个有限维线性空间V，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间{0}和V本身。例1.4.2实数域R上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间。nnRnnR例1.4.3设ARmn，记A={a1,a2,…an},其中aiRm，则k1a1+k2a2…+knan是Rm的子空间，称为矩阵A的列空间（或值域）,记为R(A)或Im(A)。即R(A)={y|y=Ax,xRn}注：判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性子空间，则很方便.下面考虑两个子空间的运算：注意：线性空间V的两个子空间的V1,V2并一般不是V的子空间；例1.4.4设是线性空间的子空间，且则12,VV1121(,,),(,,),stVspanVspanV1211(,,,,,)stVVspan证明由子空间和的定义，有V1+V2=span(1,2…s)+span(1,2…t)={(k11+k22…+kss)+(l11+l22…+ltt)|ki,ljP}=span(1,2…s,1,2…t)例1.4.5设12(2,1,3,1),(1,1,3,1),TT求的基与维数。1212VVVV、112212(,),(,).VspanVspan12(4,5,3,1),(1,5,3,1),TT所以可令设，则12VV12VV，1122=kk12212520,,33kklll因此1122225=.3kkl所以的基为，维数为12VV212dim()1.VV解解关于的齐次方程组，得1212,,,kkll1122ll由例1.4.4121212(,,,)VVspan由前得221221252033lll即212152033然而线性无关，这样是的极大无关组，所以它也是的基，故121,,12VV12dim()3.VV1212,,,121,,定理1.4.7（维数公式）设是数域P上线性空间的两个有限维子空间，则它们的交与和都是有限维的，并且V12,VV121212dim()dim()dim()dim().VVVVVV注意到例1.4.5中121212dim()dim()dim()dim().VVVVVV这并不是偶然的。在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？例1.4.6设分别是阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明均为线性空间的子空间。试证明,SKnnnR,SK1122()(),TTnnAAAAAAR证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即又根据定理1.4.9可知结论成立。2(1)dim/(1)2()/2nnnnRnnndim()(),dimSKKSRnn这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V的一个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个数域P上的线性空间都与n维向量空间Pn同构。因此n维向量空间Pn中的一些结论在任意线性空间也成立。定义1.6.2设V为内积空间，V中向量的长度或范数定义为,长度为1的向量称为单位向量注：如果0，则是单位向量。(,)(AB)H=BHAH;如果A可逆:则(AH)-1=(A-1)H内积空间就是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来。例1.6.1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化1231,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,11121221113132331211221,1,0,0,11,,1,0,22,,111,,,1,,333再单位化11122233311,,0,022112,,,06661113,,,23232323那么即为所求的标准正交向量组。123,,注：以上正交化方法的结果与向量的次序有关。1234123412340234023450xxxxxxxxxxxx其解空间的一个标准正交基底。解：先求出其一个基础解系下面对进行正交化与单位化：121,2,0,1,2,3,0,1XX12,XX例1.6.2求下面齐次线性方程组112122111111222(,)214,,,1;(,)333121,,,06662143,,,3030303XXX即为其解空间的一个标准正交基底。12,正交性的应用主要是通过正交投影来实现的。无论是微分方程数值解中的有限元方法等谱方法及其大量应用，还是最优化理论（主要是极值问题）及其在控制、通信、雷达、时间序列分析、信号处理等诸多学科中的应用，都与正交投影有密切联系。一言以蔽之，这是人类试图简单化现实世界的一种思维方式。作业:P41:6(5),11,15,19(1),24,27(1)总结本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。