二次函数优秀讲义

1二次函数考点一、二次函数的概念（1）定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.（2）注意：①二次项系数不为“0”；②未知数最高指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、若1||2·)(mxmmy是二次函数，则m的值为．变式训练：若mmxmmy2)(2是二次函数，则m的值为。例２、化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x(自变量)的关系是______．例３、下列函数关系中，可以看作二次函数)0(2acbxaxy模型的是（）．（A）在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系（B）我国人口年自然增长率为1％，这样我国人口总数随年份的变化关系（C）竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）（D）圆的周长与圆的半径之间的关系说明：此题在实际情境中考查了对二次函数模型构建的理解．考查了如何从所给命题中，找出变量，建立解析式．可用排除法针对性练习：一、填空题1．正方形的边长是2cm，设它的边长增加xcm，正方形的面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系为______，y是x的______次函数．2．2002年重庆市的国民生产总值是2000亿元，预计2003年比2002年、2004年比2003年每年都增长x，则2003年重庆市的国民生产总值为____亿元；设2004年重庆市的国民生产总值为y亿元，则y与x之间的函数关系为______，y是x的______次函数．3、若mmxmmy2)(2是二次函数，则m的值为。二、选择题1．下列函数中，不是二次函数的是（）（A）221xy（B）5)1(22xy（C）)4)(1(21xxy（D）223)2(3xx2．若mmxmmy2)(2是二次函数，则m的值为（）（A）1（B）－2（C）1或－2（D）23．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下的一个圆环的面积为ycm2，则y与x2的函数关系式为（）（A）42xy（B）2)2(xy（C）)4(2xy（D）162xy考点二、会用待定系数法求二次函数的解析式1、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：“设-----列------解------答”⑴设：根据条件，设出相应函数的待定解析式；⑵列：代入数据，列出关于待定系数的方程组；⑶解：解方程组，求出待定系数的值；⑷答：将求出的值带入所设的解析方程，即为所求。2、二次函数的三种解析式以及求二次函数的一般方法：⑴一般式：cbxaxy2，对称轴为abx2，顶点为（abacab44,22）；条件：已知图像上三点或三组（x、y）的值，通常选择一般式，即列关于a、b、c的三元一次方程组解决.⑵顶点式：khxay2，其中对称轴为hx，顶点坐标为（h,k）条件：已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.⑶交点式（两根式）：21xxxxay,其中21,xx是抛物线与x轴的两个交点；条件：已知图像与x轴的交点横坐标1x、2x，通常选用交点式，只需求待定系数a。根据条件灵活地选择函数的解析式典型例题1、已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．例2、已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.例3、已知抛物线的顶点为)3,1(，与y轴交点为)5,0(，求此抛物线的解析式.例4已知抛物线与x轴交于)0,1(A，)0,1(B，并经过点)1,0(M，求抛物线的解析式.例5、求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．例6、已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切．(1)求二次函数的解析式；(2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大；(3)当x在什么范围时，y随x的增大而减小．3例7已知抛物线)0(2acbxaxy与x轴两交点的横坐标是－1，3，与y轴交点的纵坐标是23，确定抛物线的解析式.例8．已知函数cbxaxy2的图像如下图所示，那么此函数的解析式为（）A、322xxyB．322xxyC．C、322xxyD．322xxy考点三、二次函数（）的图像（抛物线）和性质⑴图象：①确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向；②确定图象与x轴、y轴的交点。⑵性质：①确定增减性；②确定最大值或最小值。⑶相互联系和转化：①特殊)0(2aaxy与一般)0(2acbxaxy相互联系和转化；②会把一般式)0(2acbxaxy化为顶点式)0()(2akhxay。二次函数的平移见下图：0,2aaxy0,2ahxay0,2akaxy0,2akhxay，0,2acbxaxy类型一、y＝ax2(a≠0)的图象与性质典型例题：例１、已知函数42)2(mmxmy是关于x的二次函数．求：（1）满足条件的m的值．（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？说明：解这类有关二次函数的性质问题，最好能画出抛物线的草图，以便利用数形结合思想进行观察和分析．针对性练习：1．在同一坐标系中，图象与22xy的图象关于x轴对称的函数为（）．cbxaxy20a4（A）221xy（B）221xy（C）22xy（D）2xy2．抛物线22231,3,3xyxyxy共有的性质是（）．（A）开口向上（B）对称轴是y轴（C）都有最高点（D）y随x的增大而增大3．若点),2(mA在抛物线2xy上，则点A关于y轴对称点的坐标是（）．（A）（2，4）（B）（－2，4）（C）（2，－4）（D）（－2，－4）类型二、特殊y＝ax2(a≠0)与一般y=ax2+bx+c(a≠0)相互联系和转化1．图形的移动（翻折，平移，旋转）2)(hxaykhxay2)(⑴平移：沿x轴平移，左加右减（x变）；沿y轴平移，上加下减（y变）。⑵翻折：沿x轴翻折，y相反；沿y轴翻折，x相反。⑶原点对称：x、y全相反。典型例题：例１、二次函数2)1(22xy的图象，可由22xy的图象A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到例2、将抛物线22xy向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（）．（A）3)1(22xy（B）3)1(22xy（C）3)1(22xy（D）3)1(22xy例3、抛物线12212xxy可由抛物线221xy向____平移____个单位，再向____平移____个单位而得到．例4、将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为.2axykaxy2向上(向下)平移k个单位向左(或右)平移h个单位向左(或右)平移h个单位向上(向下)平移k个单位5例5、将抛物线22(1)3yx向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为．例6、已知抛物线C1的解析式y=2x2-4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为.拓展提升：1、已知yx22的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A．2)2(22xyB．2)2(22xyC．2)2(22xyD．2)2(22xy2、如图，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：(1)抛物线y2的顶点坐标_____________；(2)阴影部分的面积S＝___________；(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向__________，顶点坐标___________3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A，，且过点(30)B，．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标类型三、cbxaxy2的图象与性质1、二次函数的性质①a的符号决定抛物线的开口方向；a相等，抛物线的开口大小、形状相同；如果a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时，开口向上当0a时，开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)6③二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，④当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点abacy最小442；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点abacy最大442典型例题：例1、如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①2axy②2bxy，③2cxy，④2dxy，则a、b、c、d的大小关系为（）．（A）dcba（B）cdba（C）dcab（D）cdab说明：①当a相同时，几条抛物线的形状和大小相同，只是位置不同，相互间可以通过平移得到；②a的绝对值越大，开口越小；例2、已知二次函数为mxxy2．（1）写出它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方？例3、已知抛物线cbxaxy2的图象的草图如图所示，试确定a，b，c及cba的符号．说明：这是二次函数中一类典型的数形结合问题，其确定符号的一般方法是：①a的符号：由开口方向决定；a的绝对值越大，开口越小；②c的符号：由抛物线与y轴的交点（0，c）的位置来决定；③b的符号：由对称轴abx2的位置及已确定a的符号一起决定（同左异右）；④acb42的符号：由抛物线与x轴交点的个数确定；⑤cba的符号：由1x时，函数值的符号决定；⑥cba的符号：由1x时，函数值的符号决定；例4、函数cbxaxy2的图象如图所示，31x为该函数图象的对称轴，根据这个图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？（写出四个即可）说明：此题是一道开放性题目，考查对二次函数图象的掌握及对图象所代表的二次函数的类型的理解．作者：王新民[e-mail]作者：王新民[e-mail]7针对性练习：1、抛物线y=-2(x–3)2–7对称轴x=,顶点坐标为；2、抛物线y=2x2+12x–25的对称轴为x=,顶点坐标为.3、若将二次函数y=x2－2x+3配方为y=（x－h）2+k的形式，则y=4、抛物线y=-4（x+2）2+5的对称轴是。5、抛物线y=-3x2+5x-4开口,y=4x2–6x+5开口.6、已知P1（11y,x）、P2（22y,x）、P3（33y,x）是抛物线3x2xy2上的三个点，若321xxx1，则321yyy、、的大小关系是____________。7、已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是()A．-1≤x≤3B．-3≤x≤1C．x≥-3D．x≤-1或x≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是()Ah=mBk=nCk＞nDh＞0,k＞09