杨辉三角与二项式系数的性质

复习提问1.二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-kbk+…+Cnbn01kn右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；nnrnnnnCCCCC,,,,210knkknCab2.二项式系数:3.二项展开式的通项Tk+1=针对(a+b)n的标准形式而言(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:11;()knkkknkkknknTCbaTCab4.在定理中，令a=1，b=x，则nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx2210)1(观察猜想展开式的二项式系数有什么变化规律？二项式系数最大的是哪一项？(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+…+Cnan-rbr+…+Cnbn01rn为了研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？nnrnnnnCCCCC,,,,210你知道这是什么图表吗？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)601C02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C11C11121133114641151010511615201561新课引入《详解九章算法》记载的表杨辉三角杨辉以上二项式系数表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。观察：从图中你能得出哪些性质？11121133114641151010511615201561思考：会证明这些性质吗？a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=当n不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：1112113311464115101051161520156121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C总结提炼1:1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561对称总结提炼2:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等mnnmnCC当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C05C15C25C35C45C55C(a+b)6(a+b)n06C16C26C36C46C56C66C04C14C24C34C44CCn0Cn1Cn2CnrCnn……16152015611112113311464115101051知识探究3:增减性的实质是比较的大小.1kknnCC与1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnnknnkCCknkkknkk所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn12111nkkkn21nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。还有没有其他解释呢？最大项与增减性可以看成以r为自变量的函数f（r），其定义域是｛0,1,···,n｝。rnC函数角度：知识探究3:①当n=6时，二项式系数（0≤r≤6）用图象表示：7个孤立的点rC6Orf(r)6361420图象法解释f（r）n为奇数；如n=72nf（r）rnO615201n为偶数；如n=62n20103035On743①关于r=n/2对称②r=3和r=4时取得最大值图象法解释111211331146411510105116152015612nnCn是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。21nnC21nnC总结提炼3:知识探究4:012:.......2nnnnnnCCCC猜想111124816326402122252324262112113311464115510101166151520二项式系数求和：012:.......2nnnnnnCCCC求证启示：在二项式定理中a,b可以取任意数或式子，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。令a=b=1，则0122nrnnnnnnCCCCC在（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn证明:进一步思考:（2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC证明：在展开式中令a=1，b=－1得011nnnnnnnCaCabCb0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。726701267(12)xaaxaxaxax已知7)21()(:xxf设解721071)121()1(aaaaf赋值法0)1(a求：7321...)2(aaaa0x（1）令70(0)(120)1,fa即展开式右边即为0(0)1af1x（2）令211)0()1()(...0710721ffaaaaaaa726701267(12)xaaxaxaxax已知1357(3)aaaa7)21()(:xxf设解0127(3)(1)faaaa01237(1)faaaaa13572()(1)(1)aaaaff71357(1)(1)1322ffaaaa0246(4)2()(1)(1)aaaaff例20246(4)aaaa小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解23421201212:()(1)...fxxxxaaxaxax分析设401212(1)4faaaa012312(1)0faaaaa71237(12)...xaaaa展开式中求思考：______1:432系数和是的展开式中奇次项）（练习xxx例3在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCxy（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.1.研究斜行规律2.研究杨辉三角与斐波那契数列的关系1.研究斜行规律：第一条斜线上：16C第二条斜线上：26C第三条斜线上：36C第四条斜线上：46C猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第m+1条斜线上的第n个数.1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1条斜线）1＋4＋10＋．．．＋＝（第4条斜线）31nC1＋3＋6＋．．．＋＝（第3条斜线）21nC1＋2＋3＋．．．＋＝（第2条斜线）11nC(nr)rnrrrrrrCCCC1211nC2nC3nC4nC1rnC?结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即)(11122110rnCCCCCrnnrnnrrr即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的斐波那契数列。)2(12nSSSnnn杨辉三角的其它规律第0行11、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………第7行172135352171杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数（质数的积）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………第7行1721353521712、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是质数(素数)思考1求证:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCmnmnnCC02122222()()()().nnnnnnnCCCCC思考2求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123112nnnnnnCCCnCn倒序相加法