空间直线与直线之间的位置关系1

提出问题：1.什么叫做异面直线？2.总结空间中直线与直线的位置关系？3.两异面直线的画法？4.在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间这个结论成立吗？5.在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。空间中，结论是否仍然成立呢？6.什么叫做两异面直线所成的角？7.什么叫做两条直线互相垂直？ABCD思考1：平面内两条直线的位置关系相交直线平行直线相交直线（有一个公共点）平行直线（无公共点）两路相交立交桥立交桥中,两条路线AB,CDaboab既不平行，又不相交ABCD六角螺母那么异面直线是怎样定义的呢？a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab思考2：请为异面直线选择合适的定义：A、空间中不相交的两条直线；B、某平面内的一条直线和这平面外的直线；C、分别在不同平面内的两条直线；D、不在同一平面内的两条直线。E、不同在任一平面内的两条直线；定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。没有只有一个没有共面不共面共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面一．空间两条直线的位置关系例1：(1)在如图所示的正方体中，指出哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？ABC1D1C1B1AD练习1：已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？MNC1D1C1B1ADBA2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？想一想,做一做：HGFEDCBA三对AB与CDAB与GHEF与GH一定是异面直线吗？则2121,,,llll3.异面直线判定：1、用定义：2、反证法（多用证明两直线异面）2、判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。？反证法的步骤：1．假设结论不成立（即其反面是成立的）；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，得出矛盾；3．由判定假设不正确，从而结论是正确的.练习2：,,lmlCDm已知：是异面直线，A,B是上不同的两点，是上不同两点.求证：AD，BC是异面直线。mlABCD说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)二、异面直线直观图的画法三、平行直线1、平行关系的传递性caabcc公理4.平行于同一条直线的两条直线平行aαABDEFGHC例2：如图：空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。练习4：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，取AB,BC的中点分别为E,F,EF与A1C1的位置关系如何？你能证明吗？FABC1D1C1B1ADE证明平行方法：1、利用定义：一证两直线共面，二证两直线无公共点。2、利用公理4：,c直线c//a，c//b.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。三、等角定理BACB1A1C1DD1EE11已知：求证：∠BAC与∠B1A1C1的边AB∥A1B1,AC∥A1C1,并且方向相同∠BAC＝∠B1A1C12.等角定理证明：分别在∠BAC与∠B1A1C1的两边上截取AD=A1D1,AE=A1E1连接AA1,DD1,EE1,DE,D1E1AB∥A1B1AD=A1D1四边行AA1D1D是平行四边形DE=D1E1AD=A1D1AE=A1E1AA1DD1同理AA1EE1DD1EE1四边形DD1E1E是平行四边形△ADE≌△A1D1E1∠BAC＝∠B1A1C1定义经过空间任一点分别作两条直线的平行线，这两条平行线所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角或夹角。'a两条异面直线a和b所成的角的大小，只与它们的位置有关，而与点位置无关。oaO＇Ob'b四、异面直线所成的角异面直线的角范围是：090oo如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。ba'aOba45o例3：（2）求直线BA1和CC1所成角的度数。ABC1D1C1B1AD求异面直线所成角转化为求平面上相交直线的角例3：（3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ABC1D1C1B1AD练习5：在如图所示的长方体中，AB=，AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数。ABC1D1C1AD330O1BABGFHEDC例2如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角(2)FO与BD所成的角解:(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△题型一：异面直线所成的角七、求异面直线所成的角的步骤是:1、构造：根据异面直线定义，用平移法作出异面直线所成的角；2、证明：证明作出的角就是要求的角；3、计算：求角度，常利用解三角形；4、结论：若求出的角是锐角或直角，则它即为所求；若求出的角是钝角，则它的补角即为所求例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。（1）求证:E、F、G、H四点共面；（2）若四边形EFGH是矩形，求证：题型二：平行公理的应用BDAC例3题型三：等角定理的应用1111111111CEBBECDAADDCBAABCDEE求证：的中点。、的棱分别是正方体、已知练习反馈：奎屯王新敞新疆1.判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）√×√√××练习反馈：2．选择题（1）“a，b是异面直线”是指①a∩b=Φ,且a不平行于b；②a平面，b平面且a∩b=Φ③a平面，b平面④不存在平面，能使a且b成立上述结论中，正确的是（）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对CC（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面．DD4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能（2）异面直线a,b满足a,b,∩=l,则l与a,b的位置关系一定是（）(A)l至多与a，b中的一条相交;(B)l至少与a，b中的一条相交;(C)l与a,b都相交;(D)l至少与a，b中的一条平行.DB（3）两异面直线所成的角的范围是（）（A）（0°,90°）（B）[0°,90°)（C）（0°,90°]（D）[0°,90°]7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）奎屯王新敞新疆C×√×(1).下列结论正确的是（）A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交D练习４(2).下面三个命题,其中正确的个是（）①四边相等的四边形是菱形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形A.1个B.2个C.3个D.0个D(4).若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（）A.空间四边形B.菱形C.正方形D.梯形(3).空间两个角α、β且α与β的两边对应平行,且α＝600,则β等于（）A.60°B.120°C.30°D.60°或120°DB小结1、空间中两直线三种位置关系；2、异面直线直观图画法；3、异面直线所成角定义。在空间中，垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？与同一条直线异面的两条直线一定平行吗？