极限的多种求法

目录摘要.....................................................................................................1前言.....................................................................................................21极限的定义..............................................................................................31.1数列极限的概念..........................................................................31.2函数极限的概念.........................................................................3⑴x趋于时函数的极限..........................................................3⑵x趋于）（时函数的极限..............................................4⑶x趋于0x时函数的极限（函数极限的-定义）..............4⑷x趋于)(00xx时的左右极限...................................................42数列极限的求法.....................................................................................52.1利用数列极限N定义证明极限成立。.................................52.2利用迫敛性求极限......................................................................52.3利用数列极限四则运算法则求极限..........................................72.4利用无穷小量与无穷大量互为倒数的关系求极限2...............82.5利用单调有界必有极限定理求数列极限..................................92.6利用级数收敛的必要条件求数列极限....................................102.7利用重要极限ennn)11(lim求极限..........................................102.8利用定积分求极限...................................................................113函数极限的求法...................................................................................123.1用函数极限定义证明极限成立................................................123.2利用左右极限与函数关系求极限（适用于分段函数求分段点处的极限等情况）..........................................................................133.3利用函数连续性求极限（适用于求函数在连续点处的极限）133.4利用两个重要极限求极限........................................................143.5用函数四则运算法则求极限....................................................15⑴用未知数的最高次方项去除分子、分母........................16⑵分子有理化..........................................................................16⑶分母有理数..........................................................................16⑷三角函数..............................................................................163.6初等变形求极限.......................................................................173.7利用“有界函数与无穷小之积仍为无穷小”之性质求极限173.8利用无穷大量与无穷小量互为倒数的关系求极限...............183.9利用等价无穷小代替求极限....................................................193.10代数函数的极限.....................................................................203.11利用洛必达法则求极限（适用于未定式极限）..................21(1)00型不定式........................................................................22(2)型不定式........................................................................22⑶其它不定式..........................................................................223.12利用拉格朗日中值定理求极限..............................................243.13利用泰勒公式..........................................................................24参考文献...................................................................................................261摘要摘要：极限在数学分析中占有重要地位，本文主要介绍一些求极限的方法。本文主要整理的方法主要有以下几种：一、数列极限的求法1.定义法2.迫敛法3.四则运算法则求极限4.利用无穷小量与无穷大量互为倒数的关系求极限5.利用单调有界必有极限定理求数列极限6.利用级数收敛的必要条件求数列极限7.利用重要极限ennn)11(lim求极限。二、函数极限的求法：1.用函数极限定义证明极限成立2.利用左右极限与函数关系求极限（适用于分段函数求分段点处的极限等情况）3.利用函数连续性求极限（适用于求函数在连续点处的极限）4.利用两个重要极限求极限5.用函数四则运算法则求极限6.初等变形求极限7.利用“有界函数与无穷小之积仍为无穷小”之性质求极限8.利用无穷大量与无穷小量互为倒数的关系求极限9.利用等价无穷小代替求极限10.代数函数的极限。以及利用洛必达法则求极限（适用于未定式极限）、利用拉格朗日中值定理求极限、利用泰勒公式、利用STOLZ定理求极限等关键词极限、连续性、罗比塔法则、定积分、导数、泰勒公式、级数Abstract:limitplaysanimportantroleinmathematicalanalysis,thispaperintroducessomemethodsforthelimit.Methodsthispaperfinishedmainlythefollowing:one,thelimitofnumbersequencefor1definition2forcedconvergencemethod3fouralgorithmsforlimit4usinginfinitesimalandinfinityisthereciprocalrelationshiplimit5monotoneboundedwilllimittheoremoflimitofasequenceof6usingthenecessaryconditionsforconvergenceofseriesthelimitofasequenceof7importantuselimitlimit.Methodtwo,functionlimit:1Definitionsoffunctionlimitprovelimitwasfoundedin2byleftandrightlimitandfunctionlimit(suitableforpiecewisefunctionforthepiecewisepointlimitetc.)3usingthecontinuityoffunctionlimit(suitableforthefunctioninthecontinuouspointlimit)4usingtwoimportantlimitsforthelimitof56primarydeformationlimit7useboundedfunctionandaninfinitesimalisaninfinitesimalproductofnaturelimit8usingtheinfinityandinfinitesimalreciprocalrelationsforlimit9utilizationofinfinitesimalinsteadofpricelimitof10algebraicfunctionlimitfunctionusingfouralgorithmsforlimit.AndtheuseofL'HospitalRulelimit(applicabletothelimits),usingtheLagrangemeanvaluetheoremforlimit,usingtheTaylorformula,thelimitbyusingtheSTOLZtheorem.Keywords：limit,continuity,L'HospitalRule,integral,derivative,Taylorformula,series2前言如果说数学分析就是一座高耸的大厦，那么极限理论就是它的基石。极限的概念已成为高等数学中最基本、最重要的概念，也是微积分的基础极限论作为数学分析的基础，贯穿于整个数学分析，极限作为现代分析学中最基本的概念，同时也是分析中应用最广的一种重要的数学运算和方法，无论在教学上，还是在培养和提高学生的数学品质和修养方面，都具有基本的重要性。研究极限核心问题是极限的求法。因此，掌握极限的求法显得尤为重要。31极限的定义1.1数列极限的概念⑴定义1数列极限N定义：设}{na是一个数列，a是一个确定的数，若对任给的0，总存在某一个自然数N，使得当Nn时，都有aan，则称数列}{na收敛于a，a称为它的极限，记作aalimnn.Aannlim或)(naan存在极限的数列}{na称为收敛数列。若数列没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。⑵定义2：任意0，若在),0(V之外，数