极限的求法综述

求极限的方法摘要：求极限的方法是高等数学的一个重点，而极限概念是微积分学的中心内容。因此，弄清极限概念，熟练掌握极限的计算方法，对于学好高等数学是十分必要的。为此，本文将高等数学中各种极限的计算方法，系统地归纳起来，对于在求极限时，能够灵活地运用求极限的法则，较熟练地选择简便的方法，是很有帮助的。关键词：正文：极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1；再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正十二边形，其面积记为A3；循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6×2n-1边形的面积记为An（n∈N）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1,A2,A3…,An,…..,它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，An终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为n→∞），即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A1,A2,A3,…..,An,…..当n→∞时的极限。极限有两种.：数列极限：nlimxn=aε0,一个正整数N，当nN时，恒有|Xn-a|ε函数极限：xlimf(x)=Aε0,一个x0,当|x|X,恒有|f(x)－A|ε.0limxxf(x)=Aε0,一个δ0,当0|x－x0|δ时，恒有|f(x)－A|ε求极限的方法已归纳出15种，分别列举如下：§1利用极限定义求极限[解题提示]当数列Xn不单调时，其极限的存在性可考虑用极限的定义证明。解题程序是先求出xn后，再证xn的存在性。[例1]设x1=2,xn+1=2+nx1,n≥1,求nlimxn[解]令nlimxn=m,则nlimxn+1=nlimnx12即m=2+1/m则m=12∵xn≥2∴m≥2故m=1+2(m=1-2舍去)以下证nlimxn存在对任意ε0,|xn－m|=|(2+11nx)-(2+m1)|=︳11nx-m1︱=11nnmxmx＜41mxn＜224mxn＜….＜114nmx=1412n＜由极限定义nlimmxn=0,故nlimxn=m=1+2§2子序列的极限与函数的极限等值即子序列的极限可用函数极限求出。[例1]nlimtgnn14[解]先求xlimtanx(4+1)n=xxtglne14lim=xxxtglne114lim=xxxxxe114cos114tan1lim22=xxe22sin2lim=2e2例求nlimnnarctg2[解]先求nlim22xarctgx极限=xarctgxxe2lnlim2（应为原式=）=xxarctgxe22lnlim=xxxarctgxe322111lim=xarctgxxxe11lim2123=0故原极限为0。§3约简分式的方法即是化简分子分母，能约分的约分，使能求出分式的极限。[例1]求极限1limx11nmxx[解]1limx11nmxx=1limx)1)(1()1)(1(2121nnmmxxxxxx=1limx1.12121nnmmxxxx=项）项）nm(111(111=nm[例2]求极限xlimnnnnn42321（n是正整数变量）[解]分子、分母各项除以n，得原式=nlim111111111422nnnn注：约简分式的方法实质是分子与分母除以相同的式子，以有利于求极限。§4有理化分子或分母即是通过因式分解或根式有理化，消去“0”因子，再用极限运算法则或连续函数极限的求法求解。所谓根式有理化是指极限中含有ba（或ba）的题性型，在求极限之前先用它们的共轭根式ba（或ba）分别乘以分子、分母，使其“0”因子呈现出来的一种运算。[例1]求axlim)0(22aaxaxax[解]原式=axlimaxaxaxaxax122=axlimaxaxaxax1=a21[例2]求极限8limx3231xx[解]分子与分母同乘以31x323222xx得原式=8limxxxxxx8)31(2491323=8limx﹣3124323xxx=2§5利用夹逼定理（夹逼定理）设在x0的邻域内，恒有（x）f（x）（x），且0limxx（x）=0limxx（x）=A，则0limxxf（x）=A[例1]求nlim10=xn3xdx[解],10x(233x把含n的项留下来）nnnxxxx233于是10nx3dx10xn3xdx102xndx而nlim10nx3dx=nlim10113nxn=nlim13n=0nlim102xndx=nlim211nxn10=nlim12n=0故nlim10=xn3xdx=0[例2]求nlimnnnxx212（1）当0x1时，1nnnxx212n3nlimn3=1当0x1时，nlimnnnxx212=1（2）当1〈x2时，x〈nnnxx212xn3又nlimxn3=x，所以当1〈x2时，nlimnnnxx212=x（3）当x〉2时22x〈nnnxx212232xn又xlim232xn=22x所以，当x〉2时，nlimnnnxx212=22x综上所述，nlimnnnxx212=22211012xxxxx§6利用自然数求和公式即是利用求和公式先算出自然数的和，再求极限。[例1]求极限nlim3.212222nnn[解]利用自然数平方和公式：1222.2n=12161nnn所以，原式=nlim312161nnnn=nlimnn613=nlim613n=21注：类似地，可用其它求和公式或求和法。[例2]求极限nlim141351151312n[解]351151311412n=12121751531311nn=121121715151313`1121nn=121121n21121121n原式§7利用基本极限0limxxxsin=10limxxxsin=1该极限的特点：它是00型未定式，并且正弦函数右边的变量与分数线另一侧的变量形式一致。注：xlimxxsin=0（xlimxxsin1，为非00型未定式）[例1]求xlim121sin22xxx[解]xlim121sin22xxx=xlimxx11sinxlim122xx=22[例2]求极限nlim22212sin3sinsinnannana[解]记An=sin2na+sin23na+ann212sina=0时An=0,即有nlimAn=0=a设a0,对于任意给定的正数δ，利用基本极限0limxxxsin=1和极限的定义，必存在δ0,使1sinxxa,当0xδ,于是当na2时，由于nanannana21232222故有11212sin22naknak〈a，k=1,2,n,221212sinnaknak212nkk=1,2,n,利用“和的绝对值不超过绝对值的和”，得nknaknak1221212sinnknaknak1221212sin〈nknk1212nknk1212=1231`12nn=221nn=1前一式化为anaAn2(当）按极限定义便得nlimAn=a设a0，则-a0并且nlimAn=nlim22212sin3sinsinnannana=a§8利用基本极限0limxxx11=xlimxx11=e该极限的特点：①它是1型未定式，②括号中1后的变量（包括符号）与幂互为倒数。⑴若极限呈1型，但第二个条件不具备，则通常凑指数幂使②成立。⑵凡是1型未定式，其结果：底必定是e，幂可这样确定：设limu(x)=0,limv(x)=,则lim(1)(xu))(xv=lime))(1ln()(xuxv=e))(1ln()(limxuxv=e)]()[(limxuxv=e)()(limxuxv[例1]求极限xlimxaxax[解]若a=0，则xlimxaxax=xlim1x=1若a则,0xlimxaxax=xlimaxxaaaxaax22211=eaae212[例2]0limx31sin11xxtgx[解]原式=0limx31sin1sin1xxxtgx该极限为1型，因此其底必定为e,其幂求之。0limx31sin1sinxxxtgx0limxxxxxxxsin1cos1cos1sin2=0limxxxxxxxsin1cos121sin22=2121e原极限§9利用“单调有界数列必有极限”由定理“单调有界数列必有极限”来求极限。[解题提示]此类问题的解题程序：①直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列{x}n单调有界；②设{x}n的极限存在，记为nlimxn=m代入给定的xn的表达式中，则该式变为m的代数方程，解之既得该数列的极限。[解]先设{x}n为单增数列，由于x112xxa设当n=k时，x,1kkx则有a+x1kkxa,1kkxaxa即xkkx1由数学归纳法知{x}n为单增数列，再证{x}n有界。显然，xaa1+1设n=k时，x,1ak则当n=k+1时，x211121aaaaaxakk=1a可知{x}n有界，因此{x}n当n时，极限存在。设nlimxnnlimmamxan1)411(21(,41121amam舍去）故nlimxan41121§10利用nlimnxxxn211=nlimxn等命题1：设数列xn的极限为（当n)；则数列ynnxxxn211n=1,2,3…..当n时的极限存在，并且等于。证明：由极限定义，对于任意给定的0,必存在