极限的计算方法

极限的计算方法极限的计算方法主要有一下几种一.利用四则法则计算二.利用两个重要极限计算三.利用等价无穷小代换计算四.利用罗必塔法则计算利用四则运算法则计算极限定理：若存在，则，)(lim)(limxgxf)(lim)(lim)]()([lim1.xgxfxgxf)(lim)(lim.2xfcxfc)]([lim)]([lim)]()(lim[.3xgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)()(lim.4xgxgxfxgxf（0)•（注：以上极限过程可以为•例1计算下列极限）或x0xx2323lim12243lim).1(3221124323xxxxxxxxxx利用四则运算法则计算极限利用mnmnmnbabxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx0lim0011101110一般的：利用四则运算法则计算极限162)1()1()2(lim)1()1()12(lim)24821827817841482784xxxxxxxxxxx（利用四则运算法则计算极限3)1()2)(1(lim2lim3)212321xxxxxxxxxx（21)11()11(lim)11()11)(11(lim11lim4)2220x22220x220xxxxxxxxxx（利用四则运算法则计算极限利用两个重要极限计算exexxxxxxxx100)1(lim)11(lim)2(1sinlim)1(利用两个重要极限计算极限1.1sinlim0xxx0000000sin()lim()0,lim1()tgxlim1xxxxxxxxx一般地：若则，另，＝特征：极限为“”型未定式注：若极限形式不是“”型，则不能利用上述公式计算。利用两个重要极限计算例如：0sinlimsinlim,1sinlim10110110＝＝事实上，xxxxxxxxxexexxxxx1)1(lim)1(lim.201利用两个重要极限计算上述两个极限为幂指函数型极限，他有以下三个特征：（1)极限形式为：型未定式，（2)括号内第一项为数1（3)括号内变量为1/x(或x)与指数x（或1/x）符号相同且互为倒数注：若极限形式不是型，则不能利用上述公式计算.”“1”“1利用两个重要极限计算例如：exexxxxx1)1(lim)1(lim10，例2：计算下列极限23333sinlim2123sinlim1)00xxxxxx（4141)(sinlim2sin2lim2cos1lim)2(22220222020xxxxxxxxx利用两个重要极限计算2141)(sin2lim2sin2limcos1limcos1limsinlim)1(sinlimsinlim)3(22220222002003cos1030xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtgx利用两个重要极限计算41212sin2lim211112sinlim)11(2sin11lim)11(2sin)11)(11(lim2sin11lim)4(00000xxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用两个重要极限计算5353lim53lim53sinlim)55()33sin(lim0,:53sinlim)5(05533sin000ttttttgtttgttxtxxtgxttttgtttttx原式时令利用两个重要极限计算•例3计算下列极限2)2(000])2-1[lim)2-1lim21lim)1(211exxxxxxxxx（（3)3(])x2-1[lim)2(lim)2(lim)2(23232exxxxxxxxxx（43133)1(13131])1[(lim])1[(lim)1()1(lim)11(lim)31(lim)3(3eeexxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用两个重要极限计算exxxxxxxxxln])1(limln[)1(lnlim)1ln(lim)4(1100011010ln)1ln(lim)1ln(lim0,1,11(lnlimlnlnlim1lnlim)5(1eeeteetttextteexexexxtttexexexexexexex原式＝时，＝＝令：）利用等价无穷小代换计算极限如果：时下列无穷小等价：在常用等价无穷小代换：～是等价无穷小量，记为与时则称在而0.)()(xx1)()(lim0)(lim,0)(lim0000xxxxxxxxxxxxx利用等价无穷小代换计算极限212121)sinx~(2)sin~(3)sin(4)~(5)~(6)1cos~(7)11~(8)ln(1)~(9)1~(10)csin~nnxxkxkxxxtgxxtgkxkxxxxxxxexarxx（注：利用等价无穷小代换，可以将左边比较复杂的无穷小用右边较简单的无穷小等价代换，使极限计算简单化利用等价无穷小代换计算极限•例4：计算下列极限2022221122212210211(2)lim1cos2011,1cos2~(2)21lim(2)4xxxxxxxxxxxx时，～－－原式＝32limsin2lim)1(320320xxxxtgxx利用等价无穷小代换计算极限xxxxxx00lim)1ln(lim)3(21lim11limsin1sin1lim)4(2221022020xxxxxxxxxx21)(lim)1(cos1lim)5(22100xxxexxxxx利用等价无穷小代换计算极限0limsinsinlim,21limcos)cos1(sinlim1(sinlimsinsinlim)6(303032210303cos1030xxxxxtgxxxxxxxxxxxxtgxxxxxxxx但是）注：等价无穷小代换是将分子或分母中的乘积形式的无穷小因子整体代换，而对于分子或分母中的两个无穷小之差，不能直接代换，应先化简再代换利用罗必塔法则计算极限罗必塔法则是计算型极限未定式的最有效方法之一1.””或““00条件：的某一邻域内满足以下在设罗必塔法则：”型极限未定式：”或““0)(),(00xxgxf；的某一邻域内存在且在）（或（0)()(),()2(0)(lim)(lim1)'0''00xgxxgxfxgxfxxxx利用罗必塔法则计算极限导数比的极限即函数比的极限等于其＝则）存在；或AxgxfxgxfAxgxfxxxxxx)()(lim)()(lim,()()(lim)3('''000利用罗必塔法则计算极限例5：计算下列极限11limlimlim)1(221111222xxarctgxxxxxxx616lim31lim321lim)1(2)1(lim)2(0202030＝＋xexeexexexexeexeexxxxxxxxxxxxxxx利用罗必塔法则计算极限•注：在使用罗必塔法则前，应先检查极限是否为•型未定式，并且在连续使用时，每步都需检查，若不是未定式则停止使用，此时极限已求出。””或““00利用罗必塔法则计算极限172lim7ln2lnlim7ln2lnlim)3(712100xxxxxxxxtgxtg3limcos1limsinlimsin)cos1(limsincoslim)4(22122302230221000xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用罗必塔法则计算极限•注2：将罗必塔法则与等价无穷小代换结合起来使用极限计算将更简单。10101limcos1sin1lim,sin1cos1limcossinlim)5(11xxxxxxxxxxxxxx原式＝但不存在利用罗必塔法则计算极限1)1)1lim,limlimlim)6(2211xxexexxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeeee（（原式＝但出现循环利用罗必塔法则计算极限•注3：当:应改用其他方法求之。而原极限未必不存在，法则失效，或出现循环时，罗必塔不存在，)()(lim''0xgxfxx））（）＝（＝则若（”型未定式”和““)(100)(1)(g)()()(,0)()(1)02xfxgxxfxgxfxgxf利用罗必塔法则计算极限例6：计算下列极限1)lim1lim)1(lim1)011122111eeeexxxxxxxxxx（＝（＋＋＋1000sin10011000ln22100lnln2)limsinlnlimlimlimlimsin0sinsinlimsinlnlimlimlncoslimlimlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxcsextgxxcsexctgxxxxxxxxxxx（＝但是，＝无结果。利用罗必塔法则计算极限•注4：在型中若乘积因子含有lnx，lnf(x)则其只能作分子而不能将其倒到分母中。例7求下列极限:型或利用通分化成若00,)()(:)2(xgxf212lim21lim1lim)1(1lim)111(lim1)002000xxxexxeexxeexxxxxxxxxxx（0利用罗必塔法则计算极限02lim2cos1limsinlimsinsinlim)1sin1(lim2)221002000xxxxxxxxxxxxxxxxxx（21lim1ln11lnlimln)1(1lnlim)ln11(lim3)211111111xxxxxxxxxxxxxxxxxx（利用罗必塔法则计算极限•3.幂指函数的极限；00000()0()1()()lim[()],(0,0,1)[()],ln()ln()(0.)ln()limlnlim()ln()limlim[()]gxxxgxxxxxxxgxgxkxxfxyfxygxfxfxygxfxkfxe令则＝利用罗必塔法则计算极限例8求下列极限:11111111111111)lim(1)ln,ln1lnlimlnlimlim111limxxxxxxxxxxxyxyxxyxxe（令利用罗必塔法则计算极限002120000002)lim(0),lnlnlnsinlimlnlimlimlim0lim1tgxxtgxxxxxxtgxxxyxytgxxxxyctgxcsexxxe（令利用罗必塔法则计算极限1ln1ln1ln022210000103)limln,lnlnln()limlnlimlimlim1lnsinlimxxxxxxxxxxctgxctgxyctgxyxctgxtgxcsexxyxxctgxe（令