弹性力学 平面问题基本理论1

Everyelasticbodyisspatialand,ingeneral,everyexternalforcesystemisspatial.Hence,strictlyspeaking,anyelasticityproblemisaspatialproblem.Foritssolution,wehavetoconsiderallthecomponentsofstress,strainanddisplacement.However,ifthebodyhasaparticularshapeandtheexternalforcesaredistributedinaparticularmanner,wemayconsiderthespatialproblemasaplaneoneandneglectsomeofthecomponents.Thiswillgreatlysimplifythemathematicalaspectofsolutionwhiletheresultsmaystillbeappliedinengineeringdesignwithsufficientaccuracy.2TheoryofPlaneProblems2—1PlaneStressandPlaneStrain2—2DifferentialEquationsofEquilibrium2—3GeometricalEquations.Rigid-bodyDisplacement2—4PhysicalEquations2—5StressataPoint2—6BoundaryConditions.Saint-Venant’sPrinciple2—7SolutionofPlaneProbleminTermsofDisplacements2—8SolutionofPlaneProbleminTermsofStresses2—9CaseofConstantBodyForces.StressFunction第二章平面问题的基本理论2—1平面应力问题与平面应变问题2—2平衡微分方程2—3几何方程刚体位移2—4物理方程2—5平面问题中一点的应力状态2—6边界条件圣维南原理2—7按位移求解平面问题2—8按应力求解平面问题相容方程2—9常体力情况下的简化应力函数2—1PlaneStressandPlaneStrain空间问题平面问题转化平面应力问题平面应变问题SpatialproblemPlaneproblemPlanestressproblemPlanestrainproblem转化条件：构件的形状荷载性质ParticularshapeParticularforces一、平面应力问题PlaneStress1、构件的形状：薄板：t其它两个方向的尺寸xyozoytThinPlateofuniformthicknesst2、荷载的性质：面力：沿板边，平行于板面，沿厚度不变体力：平行于板面，沿厚度均布xyozoytAlltheforcesbeingparalleltothefacesoftheplateanddistributeduniformlyoverthethickness板面不受力，即：zz=+t/2=0结论：zxz=+t/2=0zyz=+t/2=0因为板很薄，荷载不沿厚度变化，应力是连续分布的，所以可以认为，在整个薄板：z=0zx=0zy=0平面应力问题有那些应变分量和位移分量？薄板的应力为：xyxy且与z无关，为x、y的函数,称为平面应力问题Theremainingstresscomponentsx，y，xy，maybeconsideredtobefunctionsofx、yonly，suchaproblemiscalledaplanestressproblem.二、平面应变问题PlaneStrian1、构件的形状：yzx（1）足够长柱体，两端光滑刚性约束（2）无限长柱体，两端自由Verylongcylindricalorprismatialbody2、荷载的性质：（1）平行于横截面（2）沿长度不变（任意横截面上的受力是相同的）Alltheforcesbeingparalleltoacrosssectionofthebodyandnotvaryingalongtheaxialdirection.称为平面应变问题结论：yzx平面应变问题有那些应力分量？（1）应力、应变只是x、y的函数（２）w=0（z＝０），应变分量只有xyxyWithanycrosssectionofthebodyasxyplane,thecomponentswillbefunctionsofx、yonly，duetosymmetry,theshearingstresseszx=0,zy=0,andw=0,suchaproblemiscalledaplanestrainproblem.归纳：平面问题中，共有八个未知量：xyxyxyxyuv求解弹性力学平面问题，就是要根据已知条件（荷载，边界条件）求未知的应力分量、应变分量和位移分量。xyO取图示微六面体为隔离体，厚度t=1Isolateelement２—2平衡微分方程（静力平衡条件）yyxxyxdxxxxdxxxyxydyyyydyyyxyxcXYDifferentialEquationsofEquilibrium建立平衡方程FormulateEquilibriumEquationsyyxxyxdxxxxdxxxyxydyyyydyyyxyxXYxyoXYcMC=0（1）xy=yxX=0（2）011111dydxXdxdxdyydydydxxyxyxyxxxx0XyxyxxY=0（3）0Yxyxyy0Xyxyxx0Yxyxyy（平面应力问题与平面应变问题）Theelasticityproblemisstaticallyindeterminate.Tosolvefortheunknowstresses,wehavetoconsiderthestrainsanddisplacements.DifferentialEquationsofEquilibriumareapplicablebothtoplanestressproblemsandplanestrainproblems.２—3几何方程刚体位移A’B’P’取如图所示隔离体：PABxyoPA=dxPB=dydxxuudxxvvuvdyyuudyyvvP、A、B各点的位移如图所示GeometricalEquations.Rigid-bodyDisplacementx：PA的伸长量y：PB的伸长量xudxudxxuuxyvdyvdyyvvynormalstrainnormalstrainxvdxvdxxvvxy或yx：PA与PB夹角的改变量：+A’BP’uvdyyuudxxvvPABxyoyuxvyuxy几何方程GeometricalEquations：已知位移分量，就能求出应变分量。xuxyvyxvyuxy（平面应力问题与平面应变问题）GeometricalEquationsareapplicablebothtoplanestressproblemsandplanestrainproblems.Foragivensetofdisplacementcomponentsuandv,thestraincomponentsaredefinedbyGeometricalEquations.Foragivensetofstraincomponents,thedisplacementcomponentsuandvarenotwhollydeterminate.已知应变分量，能否求出位移分量？刚体位移（Rigid-bodyDisplacement）：设应变分量已知：x=0，y=0，xy=00xux0yvyu=f1（y）v=f2（x）0xvyuxy0)()(21dxxdfdyydfdxxdfdyydf)()(21u=f1（y）=u0+yv=f2（x）=v0-x（变形为零时的位移）Thesearethedisplacementcomponentscorrespondingtozerotrainsandcannotbutbetherigid-bodydisplacement.称为刚体位移(therigid-bodydisplacement)：其中若u0=0v0=0和位移为：rxyvu2222弹性体中任意点P（x，y）其位移为：u=u0+yv=v0-xPxxyyrrou0，v0弹性体沿x、y轴方向的平移弹性体沿绕z轴的转动，为什么？therigid-bodytranslationstherigid-bodyrotation和位移的方向：tgxyxytg结论：和位移的方向垂直于OP，沿切线方向，所以表示弹性体绕z轴的转动Pxxyyrru=yv=yo归纳：弹性体在变形为零时有刚体位移，所以当物体发生一定的变形时，由于约束条件不同，可能具有不同的刚体位移，即由变形不能完全确定位移（已知，不能完全确定u，v），须考虑边界条件。或者说，没有约束的弹性体存在任意的，不确定的刚体位移。Anelasticbodycanhaveanyrigid-bodydisplacementsforzerostrains.Hence，atagivenstateofstrain,thebodymayhavedifferentrigid-bodydisplacementsunderdifferentconditionsofconstraint,inordertodeterminetheactualdisplacementofthebody,theremustbethreeproperconditionsofconstraintforthedeterminationofthethreeconstants.２—4物理方程（应力、应变之间的关系）zyxxE1zxyyE1xyzzE1PhysicalEquationsTherelationsbetweenstressesandstrains完全弹性、各向同性体，HOOK定理：Inanisotropicandperfectlyelasticbody，therelationsbetweenstressesandstrainsbasedonHooke’slaw：E、G、为常数(threeelasticconstants)，不随坐标、方向而变化xyxyG1xzxzG1yzyzG1)1(2EG其中：EisthemodulusofelasticityorYoung’smodulus，isthePoisson’sratio，Gistheshearmodulusormodulusofrigidity.在平面应力问题中z=0zx=0zy=00xz0yz而且)(yxzEInaplanestressproblem物理方程yxxE1xyyE1xyxyG1(PhysicalEquations)物理方程另一种形式：)(12yxxE)(12xyyE