弹性力学

22211sinsin22411cossin2241sincossin2ddd⒈何谓理想弹性体？微小位移和形变的假定在推导弹性力学基本方程时起什么作用？⒉应力分量除了满足平衡微分方程之外，还需满足什么才是正确的解答？⒊如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个次要边界，试问在主要边界、次要边界上各应满足什么类型的应力边界条件？各有几个条件？二、取满足相容方程的应力函数Φ=Axy2，其中A0为常数，试求出应力分量(不计体力)，并画出该应力函数在图示弹性体(厚度为1)边界上的面力分布，在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。（10分）三、设单位厚度矩形截面的悬臂梁在自由端受集中力偶M作用，如图所示，试用应力函数Φ=Axy+Bxy3+Cy3+Dy2求其应力分量（不计体力），并确定常数A、B、C、D。（20分）四、半平面体在边界上的O点作用有水平方向集中力F，如图所示。试用应力函数(cossin)AB求其应力分量，并确定常数A、B。（20分）提示：《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。3．等截面直杆扭转问题中，MdxdyD2的物理意义是杆端截面上剪应力对转2/h()llhxyO2/h2h()llh2hxyOMOxyF轴的矩等于杆截面内的扭矩M。4．平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,ijijX，)(21,,ijjiijuu。二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。题二（2）图（a）)(),(),(222frrcybxyaxyx（b）)(),(),(33223frrdycxyybxaxyx3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比已知。试求薄板面积的改变量S。题二（3）图设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为l。由qE)1(1得，)1(2222Ebaqbal设板在力P作用下的面积改变为S，由功的互等定理有：lPSq将l代入得：221baPES显然，S与板的形状无关，仅与E、、l有关。4．图示曲杆，在br边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（4）图（1）0,brrbrrq；（2）0,0arrarr（3）sincosPdrPdrbarba2cosbaPrdrba5．试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数),(),,(),,(yxwyxvyxu或),(),,(rurur为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为BA2sin）（13分）题三（1）图解：d很小，PdM，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数),(r代入，可求得应力分量：2sin4112222Arrrrr；022r；)2cos2(112BArrrr边界条件：（1）0,00000rrr；0,000rrr代入应力分量式，有0)2(12BAr或02BA（1）（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：rr,，和M=Pd由该脱离体的平衡，得0222Mdrr将r代入并积分，有0)2cos2(12222MdrBAr02sin22MBA得0MB（2）联立式（1）、（2）求得：PdMB，2PdA代入应力分量式，得22sin2rPdr；0；22sin2rPdr。结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出yxy,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力x任意截面的弯矩为306xlqM，截面惯性矩为123hI，由材料力学计算公式有yxlhqIMyx3302（1）（2）由平衡微分方程求xy、y平衡微分方程：(3)0(2)0YyxXyxyyxxyx其中，0,0YX。将式（1）代入式（2），有yxlhqyxy2306积分上式，得)(312230xfyxlhqxy利用边界条件：02hyxy，有0)(4312230xfhxlhq即2230143)(hxlhqxf)41(322230hyxlhqxy（4）将式（4）代入式（3），有0)41(62230yhyxlhqy或)41(62230hyxlhqyy积分得)()4133(62230xfyhyxlhqy利用边界条件：xlqhyy02，02hyy得：0)()8124(6)()8124(623330023330xfhhxlhqxlqxfhhxlhq由第二式，得xlqxf2)(02将其代入第一式，得xlqxlqxlq00022自然成立。将)(2xf代入y的表达式，有xlqyhyxlhqy2)413(602330（5）所求应力分量的结果：yxlhqIMyx3302)41(322230hyxlhqxy（6）xlqyhyxlhqy2)413(602330校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x=0）：0220hhxxdy，0220hhxxydy代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（x=l）：022233022hhlxhhlxxdyylhxqdy2)4(30222232022lqdyhylhxqdyhhlxhhlxxyMlqylhlqdyylhxqydyhhhhlxhhlxx63222022333022233022可见，所有边界条件均满足。检验应力分量yxyx,,是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为0))(()(22222yxyxyx将应力分量yxyx,,式（6）代入应力相容方程，有xylhqxyx302212)(，xylhqyyx302212)(024))(()(3022222xylhqyxyxyx显然，应力分量yxyx,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。4．已知受力物体内某一点的应力分量为：0x，MPa2y，MPa1z，MPa1xy，0yz，MPa2zx，试求经过该点的平面13zyx上的正应力。（12分）解：由平面方程13zyx，得其法线方向单位矢量的方向余弦为1111311222l，1131313222m，1111311222n102021210ij，131111nmlL111131102021210131111LLTNMPa64.21129111131375一、简述题（40分）1.试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。2.弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？3.写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？4.写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5.求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6.试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性?7.试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）)(22yxCx，2Cyy，Cxyxy2。8.试写出应力边界条件：（1）（a）图用极坐标形式写出；（2）（b）图用直角坐标形式写出。（a）图（b）图二、计算题（15分）已知受力物体中某点的应力分量为：0x，ay2，az，axy，0yz，azx2。试求作用在过此点的平面13zyx上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。三、计算题（15分）图示矩形截面悬臂梁，长为l，高为h，在左端面受力P作用。不计体力，试求梁的xyOPhhy2hxrOyqpx应力分量。（试取应力函数BxyAxy3）四、计算题（15分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（试取应力函数BA2sin）2．弹性多连体问题的应力分量应满足，，，。3．拉甫（Love）位移函数法适用空间问题；伽辽金（Galerkin）位移函数法适用于空间问题。4．圣维南原理的基本要点有，，。5．有限差分法的基本思想为：，。三、计算题1．图示无限大薄板，在夹角为90°的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q。已知其应力函数为：)2cos(2BAr不计体力，试求其应力分量。（13分）题三（1）图OlhyxP2．图示矩形截面杆，长为l，截面高为h，宽为单位1，受偏心拉力N，偏心距为e，不计杆的体力。试用应力函数23ByAy求杆的应力分量，并与材料力学结果比较。（12分）题三（2）图3、已知某弹性力学平面问题的应力分量为231xQxyCx，2232yCxy，3223xyCyCxy其中Q为已知。若体力不计，试根据应力分量须满足的方程确定未知系数1C、2C和3C4、图示矩形薄板宽度为a而高度为b，左边固定，下边受连杆支承，右边受匀布压力q，不计体力，取泊松比0，设位移分量为1uAx，1vBxy，试用位移变分法求解位移。（平面应力问题弹性体形变势能公式为222212dd221AEuvuvvuUxyxyxyxy瑞利－里茨方程为ddddddxmxmymymAsAsmmUUfuxyfus