弹性力学的基本方程和变分原理

10.1弹性力学的基本方程在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程和与之等效的变分原理，现将它们连同相应的矩阵表达形式和张量表达形式综合引述于后。关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。弹性体的基本假设为突出所处理问题的实质，并使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定。(1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。(2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。(4)线弹性(1inearelasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。(5)小变形(smalldeformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以上)。以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量zxyzxyzyx,,,,,τττσσσ来表示。其中zyx,,σσσ为正应力；zxyzxy,,τττ为剪应力。应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负；相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图0.1.1。应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。{}xyzxyyzzxσσσστττ=Txyzxyyzzxσσστττ=(0.1.1)弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量w,v,u来表示。它的矩阵形式是{}[]Tuuvuvww==(0.1.2)称作位移列阵或位移向量。2图0.1.1应力分量弹性体内任意一点的应变，可以由6个应变分量zxyzxyzyx,,,,,γγγεεε来表示。其中zyx,,εεε为正应变；zxyzxy,,γγγ为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。图0.1.2的(a)，(b)分别为xε和xyγ的应变状态。图0.1.2xε和xyγ的应变的正方向应变的矩阵形式是{}xyzxyyzzxεεεεγγγ=Txyzxyyzzxεεεγγγ=(0.1.3)称为应变列阵或应变向量。对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。1.平衡方程3由x，y，z三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx，dy，dz而有所不同，以Taylor级数展开后，可写为()()(),,,,,,xxxxxxxyzxdxyzxyzdxxσσσ∂+=++∂()()222,,2xxxyzdxxσ∂+∂略去二阶以上微量，有()()()dxxy,xy,xy,dxxxxxxxx∂∂+=+σσσ故弹性体V域内任一点沿坐标轴z,y,x方向的平衡方程为0xyxxzxFxyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yxyyzyFxyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂(0.1.4)0zyzxzzFxyzττσ∂∂∂+++=∂∂∂其中,,xyzFFF为单位体积的体积力在z,y,x方向的分量。平衡方程的矩阵形式为[]{}{}0AFσ+=(0.1.5)其中[]A是微分算子[]A000000000xyzyxzzyx∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂(0.1.6){}F是体积力向量，{}F=TxyzFFF2.几何方程——应变-位移关系设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB，而变形后为A’P’B’，P点变形到P’点的x方向位移为u，y方向位移为v，如下图0.1.3所示。40.1.3平面问题中的变形表达从图0.1.3可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。(1)定义x方向的相对伸长量为xPAPAPAPPPAPAPAε′′′′−−−==udxudxudxPAAAPPPAxPAdx∂++−−′′+−−∂==ux∂=∂(2)定义y方向的相对伸长量为yPBPBvPByε′′−∂==∂(3)定义夹角的变化P'A’线与PA线的夹角为vvvvdxvdxdxxxxtguuPAdxudxudxdxxxαα∂∂∂+−∂∂∂≈≈==∂∂′′++−+∂∂=vx∂∂P'B’线与PB线的夹角为uudyuyudyyβ∂+−∂∂==∂则定义夹角的总变化为xyuvyxγαβ∂∂=+=+∂∂在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有5xuxε∂=∂yvyε∂=∂zwzε∂=∂xyuvyxγ∂∂=+∂∂(0.1.7)yzwvzyγ∂∂=+∂∂zxuwzxγ∂∂=+∂∂几何方程的矩阵是{}[]{}uL=ε(0.1.8)其中[]L是微分算子[]000000000xyzLyxzyzx∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂[]TA=(0.1.9)3.物理方程——应力-应变关系对于各向同性的线弹性材料，用应力表示的本构方程()1xxyzEεσµσσ=−+()1yyxzEεσµσσ=−+()1zzyxEεσµσσ=−+6xyxyGτγ=(0.1.10a)yzyzGτγ=zxzxGτγ=以矩阵形式表示：{}[]{}σε⋅=C其中[]C是柔性矩阵。[]−−−−−−=GGGEEEEEEEEEC100000010000001000000100010001µµµµµµ物理方程的另一种形式是用应变表示的本构方程()()()()+−+−+−=zyxxEεεµµεµµµσ12111()()()()+−+−+−=zxyyEεεµµεµµµσ12111()()()()+−+−+−=xyzzEεεµµεµµµσ12111()xyxyEγµτ+=127()yzyzEγµτ+=12()zxzxEγµτ+=12应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示：{}[]{}εσD=(0.1.10b)其中[]D()()()1112Eµµµ−=+−()()()100011100011100011120000021120000021120000021µµµµµµµµµµµµµµµµµµ−−−−−−−−−−−−(0.1.11)称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量E和泊桑比ν。表征弹性体的弹性，也可以采用剪切弹性模量G和拉梅(Lam'e)常数λ：()21EGµ=+，()()112Eµλµµ=+−(0.1.12)注意到()()()12112EGµλµµ−+=+−(0.1.13)物理方程中的弹性矩阵[D]亦可表示为[]2000200020000000000000000000GGGDGGGλλλλλλλλλ+++=(0.1.14){}[]{}σεC=(0.1.15)8其中柔度矩阵和弹性矩阵是互逆关系，即，[][]1−=DC。弹性体V的全部边界为S。一部分边界上已知外力,,xyzppp称为力的边界条件，这部分边界用σS表示；另一部分边界上弹性体的位移w,v,u已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边界用uS表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即SSSu=+σ(0.1.16)4．力的边界条件弹性体在边界上单位面积的内力为zyxT,T,T，在边界σS上已知弹性体单位面积上作用的面积力为,,xyzppp，根据平衡应有,,xxyyzzTpTpTp===(0.1.17)图0.1.5设边界外法线为N，其方向余弦为zyxn,n,n，()x,ncosnx=，()y,ncosny=，()cos,znnz=，且1222=++zyxnnn则边界上弹性体的内力可由下式确定xxxyxyzxzTnnnσττ=++yxyxyyzyzTnnnτστ=++(0.1.18)Fig.0.1.4物体的边界9zxzxyzyzzTnnnττσ=++以上公式的矩阵形式为[][]Tp=(在σS上)(0.1.19)其中[][]{}σnT=(0.1.20)[]n000000000xyzyxzzyxnnnnnnnnn=(0.1.21)5．几何边界条件在位移边界条件uS上，弹性体的位移已知为w,v,u，即有ww,vv,uu===(0.1.22)用矩阵形式表示是[][]uu=(在uS上)(0.1.23)以上是三维弹性力学问题中的一组基本方程和边界条件。同样，对于平面问题，轴对称问题等也可以得到类似的方程和边界条件。我们把弹性力学方程记作一般形式平衡方程[]{}{}0AFσ+=（在V内)几何方程{}[]{}uL=ε(在V内)物理方程{}[]{}εσD=(在V内)(0.1.24)边界条件[]{}{}npσ=(在σS上){}{}uu=(在uS上)并有SSSu=+σ，S为弹性体全部边界。对于不同类型问题，几何方程和物理方程的有关矩阵符号的意义汇集于下表。板与壳的基本方程将分别在本书有关章节中给出。6．弹性问题中的能量表示弹性问题中的自然能量包括两类：①施加外力在可能位移上所做的功，②变形体由于变形而存储的能量。出于研究的需要，还要定义一些由自然能量所组合的物理量，如势能(以位移为基本变量的表达)、余能(以应力为基本变量的表达)等，下面分别给出具体的表达式。⑴外力功10外力功，即所施加外力在可能位移上所做的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形无关的不变力系，即为保守力系，则外力功包括这两部分力在可能位移上所做的功。①在力边界条件上，由外力(面力)kpjpippzyx++=；在对应位移{}uuvw=上所做的功(在σS上)。②在物体内部，由体积力kFjFiFFzyx++=在对应位移{}uuvw=上所做的功(在V内)则外力的总功为()()∫+++∫++=SzyxVzyxdSwpvpupdVwFvFuFW{}{}{}{}TTVSuFdVupdS=+∫∫⑵应变能以位移(或应变)为基本变量所表达的变形能叫做应变能(strainenergy)。3D情形下变形体的应力与应变的对应关系为xxyyzzxyyzzxxxyyzzxyyzzxσσστττεεεεεε→对应于可以看出，其应变能应包括两个部分：①对应于正应力与正应变的应变能，②对应于剪应力与剪应变的应变能。下面分别讨论这两种情形下应变能计算。①对应于正应力与正应变的应变能图0.1.6正应力与正应变产生的应变能如上图所示，在Oxy平面内考察由于主应力和主应变的作用所产生的应变能。设在微小体元dV=dxdydz上只作用有xσ与xε，这时微体的厚度为dz，则由上图中的力与位移的关系，可求得微体上的应变能为12UFu∆=⋅∆()()12xxdydzdxσε=12xxdVσε=在应变能公式中，假设外力，即体力和面力是由零缓慢地增加到最后的数值的，因此应变能关系式11中有1/2