弹性力学讲义(徐芝纶版)

第一节极坐标中的平衡微分方程第二节极坐标中的几何方程及物理方程第三节极坐标中的应力函数与相容方程第四节应力分量的坐标变换式第五节轴对称应力和相应的位移第六节圆环或圆筒受均布压力第八节圆孔的孔口应力集中第九节半平面体在边界上受集中力第十节半平面体在边界上受分布力例题第七节压力隧洞区别:直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为L。极坐标中,坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标(x,y)与极坐标比较：),(坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用§4－1极坐标中的平衡微分方程在A内任一点（，）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体--由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。φdρd两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，从x轴向y轴方向转动为正。φdφρdφρρdd注意：,,0F,0F。0cM平衡条件：平衡条件考虑通过微分体形心C的向及矩的平衡，列出3个平衡条件:dcos1,2ddsin.22注意：--通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得0CM()(d)dddd(d)dsindsin22dd(d)dcosdcosdd0,22f--通过形心C的向合力为0，0ρFρ整理，略去三阶微量，得10(a)f。210(b)f。同理，由通过形心C的向合力为0可得：0φFφ极坐标下的平衡微分方程：1402101ff几何方程--表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。§4－2几何方程及物理方程极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系，有,cosxx,siny,sinxcosy注意：可求得uuuuuuxux1cossin1sincos22zzyzxyzyyxxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxij212121212121sincosuuu根据张量的坐标变换公式,'mjkikmijll,TTTTTT对平面问题：yyxxyxyyxxyxij2121333231232221131211lllllllllcossinsincoscossinsincosTcossinsincos2121cossinsincos2121yyxxyx241,1,。uuuuuu几何方程由此可得比较可知cossinsincos22x极坐标中的物理方程直角坐标中的物理方程是代数方程，且x与y为正交，ρφ故物理方程形式相似。物理方程极坐标中的物理方程也是代数方程,且与为正交，平面应力问题的物理方程：。EEE)1(2),(1),(1物理方程对于平面应变问题，只须作如下同样变换，,12EE。1边界条件--应用极坐标时，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：,常数常数，或边界条件故边界条件形式简单。平面应力问题在极坐标下的基本方程。EEE)1(2),(1),(1物理方程1402101ff241,1,。uuuuuu物理方程对于平面应变问题，只须将物理方程作如下的变换即可。,12EE。1以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于：§4－3极坐标中的应力函数与相容方程1、物理量的转换;2、从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程。函数的变换：将式或代入，坐标变量的变换：,cosx;siny反之,222yx。xyarctan(,)().ΦxyΦρ,φ(a)(b)1.从直角坐标系到极坐标系的变换)(a)(b坐标变换。cossin,sincosuuvuuu或。cossin,sincosvuuvuu(d)(c)矢量的变换：位移),,(),(φρuuvud坐标变换将对的导数，变换为对的导数：yx,ρ,φ,xφφΦxρρΦxΦ.yφφΦyρρΦyΦ可看成是，而又是的函数，即是通过中间变量，为的复合函数。),(yxΦΦ(ρ,φ)Φρ,φyx,Φρ,φyx,有:坐标变换导数的变换：而,cosx;siny,sinx。cosy代入，即得一阶导数的变换公式,(e)一阶导数)Φφρsinφρ(cosφφΦρsinρΦcosφΦx)Φφρcosφρ(sinφφΦρcosρΦsinφΦy，。展开即得：二阶导数的变换公式，可以从式(e)导出。例如.)φΦρsinφρΦ)(cosφφρsinφρ(cosφ)xΦ(xΦx22二阶导数(f)。)11(2222222222yx)(g拉普拉斯算子的变换：由式（f）得二阶导数3.极坐标中应力用应力函数表示)64(0ΦΦ224可考虑几种导出方法：2.极坐标中的相容方程)(ρ,φΦ(1)从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法）。相容方程应力公式)11(2222222222yx,)()(0φ220φxρyΦσσ(2)应用特殊关系式，即当x轴转动到与轴重合时，有:ρ(3)应用应力变换公式（下节）.sincossincossincossincos2222φφyxΦ2φxΦφyΦφφ2τφσφσσ22222xyyxρ应力公式(4)应用应力变换公式（下节），,sincos2sincos22φφτφσφσσρφφρx而φρΦρ1ρΦρ1φyΦ222x222222)cos(sinρΦσ,sincos)]([2φφΦρ1ρ代入式(f)，得出的公式。ρσ比较两式的的系数，便得出的公式。φφφφsincos,,sincos22ρφφρ,τ,σσ应力公式)54(1110202202202220220yxxσyσxyyx当不计体力时应力用应力函数表示的公式应力公式4.极坐标系中按应力函数求解，应满足：Φ(1)A内相容方程.04Φ(2)上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）。ss(3)多连体中的位移单值条件。按求解Φ应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。应力分量的坐标变换关系：§4－4应力分量的坐标变换式1、已知，求。xyyxτσσ,,ρφφρτσσ,,d,dcos,dsin,bcsabsacs设则由ρφρτσ,（含）的三角形微分体，厚度为1，如下图A，考虑其平衡条件。取出一个包含x、y面(含)和面xyyxτσσ,,ρ0,Fsinsincoscosdsdsdsyx,0cossinsincosdsdsyxxy得22cossin2cossin.xyxy同理，由(a),0F22()cossin(cossin).yxxy(b)得,0F22sincos2cossin.xyxy(c)类似地取出包含x面,y面和面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，φ得)sin(coscossin)()74(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyxyyxxyyx应用相似的方法，可得到2、已知，求.,,xyyxτσσρφφρτσσ,,)sin(coscossin)()84(cossin2cossincossin2sincos222222xyyx3、可以用前面得到的求一点应力状态的公式推出。.)()(22222xyxyNxyyxNmllmlmmlcossinsincoscossinsincosyyxxyxcossinsincoscossinsincosyyxxyx4、也可以用应力坐标变换公式得到轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。轴对称应力问题：§4－5轴对称应力和相应的位移ρ.0φρρφττ轴对称应力问题应力数值轴对称--仅为的函数，应力方向轴对称--,ddρΦρ1σρ,dd22ρΦσφ.0(a)0,dddd)dddd(22ρρ1ρρρ1ρ22展开并两边同乘得：相应的应力函数，所以应力公式为：ρΦΦ（1）相容方程0,dddddd2dd222333444ρρρρ4的通解Φ这是一个典型的欧拉方程，引入变量，则。tetetddtdtdρtΦddlnttteeρtΦ2222ddttteeeρtΦ3333332dd44446116ddteρtΦ则原方程变为0dd4dd4dd223344ttΦttΦttΦ此方程解的形式为代入整理得特征方程为tet0442342,2,0,04321由此可得应力函数的通解为DCBABeCteDeAtett222200lnln（4-10）22(12ln)2,(32ln)2,(d)0.ABCABC