二次根式知识点总结和习题学生用

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a·b（a≥0，b≥0）；bbaa（b≥0，a0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。；）（；）（；）（213122313xxxx小练习：（1）当x是多少时，31x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？②（3）当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？（4）当__________时，212xx有意义。2.使式子2(5)x有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数3．已知y=2x+2x+5，求xy的值．4．若3x+3x有意义，则2x=_______．5.若11mm有意义，则m的取值范围是。最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：（），（）（），19600224750325121003234abababcab分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：438532161531751；；）（分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：；）；（）（2325223211求值：例5：计算：312115233231214181）（）（化简：例6：化简：babababa44241）（例7：化简练习：233626201）（）（sst化简求值：例8：已知：223223ba，求：abab33的值。例9：在实数范围内因式分解：[来源:学*科*网Z*X*X*K](1)2x2－4；(2)x2－3．基础训练：一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、aa112成立的条件是：A．a1B．a1C．a1D．a12、把227化成最简二次根式，结果为：A．233B．29C．69D．393、下列根式中，最简二次根式为：A．4xB．x24C．x4D．()x424、已知t1，化简1212ttt得：A．22tB．2tC．2D．05、下列各式中，正确的是：A．772B．07072..C．7722D．07072..6、下列命题中假命题是：A．设xxx02，则B．设xxx012，则C．设xxx02，则D．设xxx0222，则7、与23是同类根式的是：A．50B．32C．18D．758、下列各式中正确的是：A．235B．2323C．3434axxaxD．127390三、1、化简aaa32442、已知：xy123123，求：xxyy225拓展训练一、分式，平方根，绝对值；1.22)(aa成立的条件是_______________2．当a________时，12aa；当a________时，12aa。3．若aa2，则a__________；若aa2，则a__________。4．把111xx根号外的因式移入根号内，结果为________。5．把-33a根号外的因式移到根号内，结果为________。6．x＜y，那么化简2)(yxxy为________10.若a+b4b与3a＋b是同类二次根式，则a=____，b=_____。11.求使a12为实数的实数a的值为____。二、根式，绝对值的和为0；1.若22)32()5(ba=0，则2ab=__________。2.如果aabba22230求ba2的算术平方根。6.在ΔABC中，a，b，c为三角形的三边，则baccba2)(2=_______。7.已知的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy8.如果，则=_______。三、分式的有理化1、已知x=2+12－1,y=3－13+1，求x2－y2的值。5.已知2323,2323yx，求下列各式的值；①yxyxyx22322；②33yx；③;四、整数部分与小数部分1.的整数部分是_________，小数部分是________。4.已知321x，x的整数部分为a，小数部分为b，求abab2的值。五、根式，分式的倒数；1.已知x＋1x=4,求x－1x的值。3.若的值；六、转换完全平方公式；1.已知abab224250，求abba32的值3.已知x，y是实数，，若axy-3x=y，求a的值；5、已知0＜x＜1，化简：4)1(2xx－4)1(2xx6、化简：1、52522·；2、743；七、技巧性运算1.9814313212112、计算11313515712121……nn的结果是_________4、已知ab23，bc23，那么abcabbcac222的值是__________5、已知xyxy952925，那么xy的值是__________6、已知xyxy512，，求xxyy22的值