第五章控制系统稳定性(新)

2010年控制工程基础(第五章）5控制系统稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性5.1系统稳定性的基本概念及稳定条件稳定的定义：原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过度过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是(渐进)稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。稳定性是控制系统自身固有的特性，取决与系统本身的结构和参数，与输入无关稳定的程度：临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。稳定临界稳定不稳定5.1系统稳定性的基本概念单摆系统受扰动后能否恢复原来的状态0)t(xlimot5.2系统稳定的条件假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲，信号的作用，此时系统的输出增量(偏差)为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然当t→∞若系统（渐进）稳定t系统的稳定条件，则系统不稳定。若，则系统稳定；即于零，推移趋随着时间的，如果输出数系统输入为单位脉冲函)(lim0)(lim)()(oootxtxtxttt件：系统稳定的充分必要条)2()()(1)()()()(obsHsGsGsXsXsGi系统的传递函数)1.5(0)()(1sHsG系统的特征方程不稳定。统是稳定的；否则系统系平面的左半部分，则该在全部落如果一个系统的特征根特征根。此方程的根称为系统的s侧。则此特征根在复平面左当特征根具有负实部，)1.5(0)()(1sHsG系统的特征方程（3）系统稳定条件的证明：))......()()(()()()(1)()(:321onsssssssssGsHsGsGsX系统单位脉冲响应系统的闭环极点。系统特征根),3,2,1(nisi)2.5()(1otsniiiectx时域单位脉冲响应niiinnsscsscsscsscsX12211o......)(换：单位脉冲响应的拉氏变；全部具有负实部系统的特征根平面的左半部分系统的特征根全部在0lim)(),2,1(][1onitsitiectxniss系统必定不稳定。，特征根任何一个具有正实部的nitsitiectx1olim)(为系统的特征根12,,,nsss基于方程式的根与系数的关系5.3劳斯判据（Routh）111000001200nnnnnaaaasssaaaassssss10110nnnnasasasa设系统特征方程为复数根与系数的关系：112021213103123124210123210;;;1nnnnnnnnnnnasssaassssssaasssssssssaassssssa（2）特征方程的各项系数的符号都相同。（1）特征方程的各项系数(i=0，1，2，…，n)。0ia要使全部特征根均具有负实部，必须满足：ia一般取正值，则上述两条件简化为0ia——必要条件！02461135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccsuusvsw充要条件：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列：120311140521160731aaaabaaaaabaaaaaba其中131211151321171431121211baabcbbaabcbbaabcbcbbcdc实部为正的特征根数＝劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。2312113111nnnnnnnnnnaaaaaabaaaa4514215111nnnnnnnnnnaaaaaabaaaa6716317111nnnnnnnnnnaaaaaabaaaa131213112111nnnnaaabbacbbbb151315213111nnnnaaabbacbbbb171417314111nnnnaaabbacbbbb例:设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss431751618ss劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。解：首先由方程系数可知满足稳定的必要条件。0516178234ssss2515s05s1403s其次，排劳斯阵列例2系统的特征方程为432235100ssss用劳斯判据判断系统是否稳定。432104,2,1,3,5,10naaaaa解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各个参数如下44203312121120100000aaasaasbbsccsds4213131251371aabaaa402331201101001aabaa3111211110(7)56.437aacbbb32131010acbbb1211211(7)0106.43106.43bbdccc劳斯表为43210231015071006.43001000sssss符号改变符号改变1,21.005j0.933s3,40.755j1.444s劳斯表为表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有两个根在复平面的右半部分。求解特征方程，可以得到4个根，分别为：显然，后面一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳定。例3设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。43210133241332sssss03432234ssss解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳斯阵列第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，控制系统不稳定。二阶系统特征式为，劳斯表为2012asasa2210120aasssaa故二阶系统稳定的充要条件是0120,0,0aaa对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可简化：三阶系统特征式为，劳斯表:320123asasasa32201120313031aaaaaaasasassa01231203,,,0,aaaaaaaa故三阶系统稳定的充要条件是例设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。12oiXsKXssssK解：系统闭环传递函数为+-12KsssiXsoXs3212320sssKsssK0231KK特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为06K处理方法：用一个很小的正数代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项然后令，按前述方法进行判别。如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。0两种特殊情况劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零10221ss例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。4322210ssss劳斯阵列表4311122ss符号改变2次，2个正实根。20()1s劳斯阵列第一列零上下两项的符号相同，表明系统有一对虚根。系统临界稳定。事实上，系统特征根如下：j21，，32220sss3210112220ssss无正实根，有虚根。劳斯阵列表某一行全为零：劳斯阵列出现全零行表明系统在S平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在S平面位置径向相反的根处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，去辅助多项式导数的系数代替该零行继续计算劳斯阵列中其余各项辅助多项式等于零得到辅助方程，解此方程可得这些成对的特征根。显然，辅助多项式的阶次总是偶数。020s28s12s4s7s3s)s(D235676543182016212160168000ssss例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。6543228122016160ssssss劳斯阵列表临界稳定21038841243sss4268Asss3412dAsssds用劳斯判据判断系统的相对稳定性：系统相对稳定行可通过极点距虚轴的极力来表示。为了使系统具有良好的动态响应，常希望极点与虚轴具有一定的距离。为此，可将原S平面虚轴向左平移期望的最小距离a，即用s-a替换原特征方程中的s，得到新的特征方程，在利用劳斯判据即可判断系统的特征根是否位于垂线s=-a的左边。解：令s→s-1：要使的特征根实部均小于0，即的特征根实部均小于-1)s(D1)s(D)10K18(K18010K18914K950K18s18s9s)s(D23)s(D1例：已知。若要求特征根得实部均小于-1，判断K的取值范围。解：令s→s-1：要使的特征根实部均小于0，即的特征根实部均小于-1)10K18(K18010K18914K95)s(D101100,0nnnnasasasaa13502413502412000nnnaaaaaaaaaaaaaaan×n行列式：赫尔维茨稳定性判据系统稳定的充要条件：各阶主子行列式均0即：110a132020aaaa13530241300aaaaaaaa……例:设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss00008816160117575011解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。各系数排成行列式180816001175000816001175由于故该系统稳定。2816011738160117500816代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。劳斯判据的不足：•定性——较难从量上判断系统的稳定程度•必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性•对含有延迟环节的系统无效5.4乃奎斯特稳定性判据闭环系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的特征根全部具有负的实部。1()()0GsHsRouth判据：利用特征方程根与系数之间的关系来判定闭环系统的稳定性。——是一种代数判据Nyquist判据：利用开环频率特性的Nyquist图，分析闭环系统的稳定性。——是一种几何判据Nyquist判据能如Routh判据那样，指出系统不稳定的闭环极点的个数，即具有正实部的特征根的个数。还能指出系统的稳定性储备——相对稳定性。指出进一步提高和改善系统动态性能的途径。5.4.1函数F(s)和开环、闭环的传递函数零点和极点的关系11101110111012()()()()()()mmmmKnnnmmmmnbsbsbsbGsGsHssasasabsbsbsbspspspG(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)121110()()1()()()()()()1BnmmmmGsGsGsHsGsspspspbsbsbsb1()()0GsHs()1()()FsGs