7.6lei1 多元微分学在几何上的应用

返回上页下页目录2020年1月18日星期六1第六节多元微分学在几何上的应用第七章(Applicationsofdifferentialcalculusingeometry)一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线三、小结与思考练习返回上页下页目录2020年1月18日星期六2复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因返回上页下页目录2020年1月18日星期六3一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击看动画TM(Tangentandnormalplaneofspacecurve)返回上页下页目录2020年1月18日星期六4切线方程),,(0000zyxMtt对应设),,(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTM:的方程割线MM1.曲线方程为参数方程的情况返回上页下页目录2020年1月18日星期六5此处要求)(,)(,)(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.M不全为0,因此得法平面方程o)(trT返回上页下页目录2020年1月18日星期六6例1求曲线cosxt，sinyt，2zt在对应于04t的点处的切线方程和法平面方程.解题思路:),,(0000zyxMtt对应设切线方程)(0t)(0t)(0t法平面方程返回上页下页目录2020年1月18日星期六7如果曲线由方程组()yyx，()zzx给出，只要将此方程组改写为以x为参数的参数方程,(),(),xxyyxzzx则根据上面的讨论可知，上点0000(,,)Mxyz处的切向量为00(1,(),())yxzxT返回上页下页目录2020年1月18日星期六8光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为2.曲线为一般式的情况返回上页下页目录2020年1月18日星期六9则在点切线方程法平面方程有或返回上页下页目录2020年1月18日星期六100,6222zyxzyx在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量例2求曲线返回上页下页目录2020年1月18日星期六110)1(6)2(0)1(6zyx即解法2.方程组两边对x求导,得1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyxMMxzxyTdd,dd,1法平面方程返回上页下页目录2020年1月18日星期六12切线方程即法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0zx点M(1,–2,1)处的切向量)1,0,1(T返回上页下页目录2020年1月18日星期六13二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点0tt设对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.))(,)(,)((000tttT(Tangentplaneandnormallineofsurface)返回上页下页目录2020年1月18日星期六14MT在上,0))(,)(,)((tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),,(000zyxFy),,(000zyxFz)(0t得)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.证:返回上页下页目录2020年1月18日星期六15曲面在点M的法向量)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx切平面方程)(),,(0000xxzyxFx法线方程000zzyyxx)(),,(0000yyzyxFy0))(,,(0000zzzyxFz),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFzMT返回上页下页目录2020年1月18日星期六16)(),(000xxyxfx曲面时,zyxfzyxF),(),,(则在点),,,(zyx故当函数),(00yx法线方程令有在点),,(000zyx在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz切平面方程特别,当光滑曲面的方程为显式返回上页下页目录2020年1月18日星期六17法向量用将),(,),(0000yxfyxfyx,,yxff表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,)1,),(,),((0000yxfyxfnyx法向量的方向余弦：返回上页下页目录2020年1月18日星期六183632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程)1(2x即法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n例3求球面返回上页下页目录2020年1月18日星期六19例4求曲面22zxxyy在点(1,1,3)M处的切平面方程和法线方程.解题思路:当面由方程(,)zfxy给出时，)(),(000xxyxfx)(),(000yyyxfy0zz切平面方程法线方程返回上页下页目录2020年1月18日星期六201.空间曲线的切线与法平面切线方程000zzyyxx法平面方程))((00xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0))((00zzt))(,)(,)((000tttT返回上页下页目录2020年1月18日星期六21切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0xxMxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0zzT2)一般式情况.返回上页下页目录2020年1月18日星期六22空间光滑曲面曲面在点法线方程),,(0000zyxFxxx),,(0000zyxFyyy),,(0000zyxFzzz)(),,()(),,(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的法向量0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx2.曲面的切平面与法线返回上页下页目录2020年1月18日星期六23空间光滑曲面)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法线的方向余弦2211cosyxff法向量)1,,(yxffn2)显式情况.返回上页下页目录2020年1月18日星期六24作业习题7-6P1011(2)(4);3(2);返回上页下页目录2020年1月18日星期六25思考与练习0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线与法平面.（解答见下页）1.求曲线返回上页下页目录2020年1月18日星期六260453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为由此得切线:111zyx1691法平面:0)1()1(9)1(16zyx024916zyx即与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl1.求曲线返回上页下页目录2020年1月18日星期六27提示:设切点为则000226zyx322.如果平面与椭球面相切,(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)