高中数学新课--三角函数--教案-(8)

课题：4奎屯王新敞新疆4同角三角函数的基本关系式（一）教学目的：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2奎屯王新敞新疆通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3奎屯王新敞新疆注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．教学重点：同角三角函数的基本关系奎屯王新敞新疆教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系．如:由tancossin得:tancossin,同样可以有:cotsincos22cos11tan，22sin11cot，22cossin1等等,可以引导学生和用三个基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯．教材中的3个基本关系式，只有：sin2+cos2=1是绝对恒等式，即对于任意实数都成立,另外两个公式,仅当取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点．这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件．教材中指出：“在第二个式子中)k(2kZ时，式子两边都有意义；在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的．教学过程：一、复习引入：1奎屯王新敞新疆设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222yxyxr2．任意角的三角函数的定义及其定义域奎屯王新敞新疆rysinRyrcscZkk,|rxcosRxrsecZkk,2|xytanZkk,2|yxcotZkk,|以上六种函数，统称为三角函数奎屯王新敞新疆3奎屯王新敞新疆三角函数在各象限内的符号规律：第一象限全为正,二正三切四余弦奎屯王新敞新疆4奎屯王新敞新疆终边相同的角的同一三角函数值相等诱导公式一（其中Zk）:用弧度制可写成sin)360sin(ksin)2sin(kcos)360cos(kcos)2cos(kry)(x,Pcot0tan0cos0sin0cot0tan0cos0sin0cot0tan0cos0sin0sin0tan0cot0cos01cscseccottancossintan)360tan(ktan)2tan(k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．二、讲解新课：1．公式:1cossin22tancossin1cottan2．采用定义证明：1cossincos,sin122222rxryryx且tancossin)(22xyxrryrxryZkk时，当1cottan,23yxxykk时且当3．推广：1cossin22这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：1tansec221cotcsc22tancossin这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：cotsincos1cottan这种关系称为倒数关系奎屯王新敞新疆类似的倒数关系还有：1sincsc1cossec4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系奎屯王新敞新疆5．注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos3sin222tan2cos2sin2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立奎屯王新敞新疆3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号奎屯王新敞新疆6．①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)奎屯王新敞新疆②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)奎屯王新敞新疆③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1．已知54sin，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．分析：由平方关系可求cos的值，由已知条件和cos的值可以求tan的值，进而用倒数关系求得cot的值．解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角,53)54(1sin1cos22345354cossintan.43tan1cot例2．已知178cos，求sin、tan的值．分析：∵cosα＜0∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类．当是第二象限角时，.8151781715cossintan,1715)178(1cos1sin22当是第三象限时.815tan,1715cos1sin2提问：不计算sin的值，能否算得tan的值？由于22tan1cos1而在Ⅱ或III象限.815117181cos1tan22221cos1tan例3．已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos．解：由1tansec22即22tan11cos为第二、三象限角当为第一、四象限角当22tan11tan11cos而costansin为第二、三象限角当为第一、四象限角当22tan1tantan1tansin四、课堂练习：1．已知21cos，求tan的值．解法1：)tansin(cos商数关系平方关系∵21cos，∴在Ⅰ、Ⅳ象限，当α在Ⅰ象限时，,23)21(1cos1sin22∴.32123cossintan当在Ⅳ象限时,23cos1sin2∴.3cossintan解法2：)tancos1(cot平方关系倒数关系当在Ⅰ象限时，.3121cos1tan,2cos121cos22当在Ⅳ象限时31cos1tan22．已知2tan，求sin的值解∵tan=20，∴在Ⅰ、Ⅲ象限①当在Ⅰ象限时．，521tan1cos122，51cos.552251tancossin②当在Ⅲ象限时521tan1cos122,,51cos.552tancossin注意：此题在求出cos的值以后，若直接用平方关系求sin的值，有符号判断问题，需要再分类，就出现二次分类增添了解决问题的复杂性．本题采用了商数关系，避开了引用平方关系求sin值，使得问题轻松获解．3．已知tan=－3，则sin=，cot=．思路分析：由tan＝－3＜0知，在第二或第四象限，∴可分类后用同角三角函数基本关系求解．（略）由于这是一个填空题，∴可先将角视为锐角，求出sin和cot的值，然后具体的再看角所在象限得出sin、cot的符号．将视为锐角′，则有tan′=3，∴sin′=.103cot′=31,03tan∴在第Ⅱ或第Ⅳ象限．∴)IV(3103)(10103sin象限在第象限在第31cot奎屯王新敞新疆五、小结与总结已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，应用平方关系确定符号是个难点，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定符号；⑵已知值，由值分情况讨论；⑶值是字母，开平方时，分情况讨论奎屯王新敞新疆六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：1奎屯王新敞新疆已知21cossin，求下列各式的值奎屯王新敞新疆①sin3α＋cos3α②sin4α＋cos4α③sin6α＋cos6α分析：由21cossin两边平方，整理得83cossin然后将各式化成关于sinα＋cosα，sinαcosα的式子将上两式的值代入即可求得各式的值奎屯王新敞新疆1611②3223③6437注意：sinα＋cosα、sinα·cosα称为关于角α的正弦和余弦的基本对称式，关于sinα、cosα的所有对称式都可以用基本对称式来表示奎屯王新敞新疆2奎屯王新敞新疆已知sinα·cosα＝81，且24，则cosα－sinα的值是多少?分析：由sinα·cosα＝81得2sinαcosα＝41sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－41（cosα－sinα）2＝43∵24，∴cosα＜sinα即cosα－sinα＜0奎屯王新敞新疆∴cosα－sinα＝－23奎屯王新敞新疆