立体几何中的向量方法(二)

lAPa１．直线的方向向量一、方向向量与法向量注意：1.法向量一定是非零向量;2.一条直线的所有方向向量都互相平行;2、平面的法向量：注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnmnl),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(求法向量的步骤：令x、y、z中某个为定值.ABC),3,5,4(),1,2,2(的法向量求平面练：已知ACAB练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),11(0,,)22PE依题意得DB(1,1，0)11(0,,)22DEDB=(1,1，0)XYZ设平面EDB的法向量为(,,1)nxy,nnDEDB则1101,1,1220ynxy于是如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC.求平面A1BD的一个法向量二、用“方向向量”与“法向量”来解决平行、垂直问题.设直线,lm的方向向量分别为,ab，l∥ma∥bakb；线线平行：1、平行关系：lmab例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；xyz设直线l的方向向量分别为a，平面的法向量分别为u，线面平行：l∥au0au；2、平行关系：lua例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；xyz设平面,的法向量分别为,uv，∥u∥v.ukv面面平行：3、平行关系：uv例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.xyz11111111111BDC//DAB3BDC//AB2//DCAB1DCBA-ABCD平面）平面（平面）（）（中，求证：在正方体练：ACBDA1B1D1C1xyz设直线,lm的方向向量分别为,ab，线线垂直：l⊥ma⊥b0ab；4、垂直关系：lamb如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；xyz线面垂直：l⊥a∥uaku；5、垂直关系：设直线l的方向向量分别为a，平面的法向量分别为u，ula是BB1,，CD中点，求证：D1F1111DCBAABCD练1正方体中，E、F分别平面ADE.A1xD1B1ADBCC1yzEFxyz⊥u⊥v.0vu面面垂直：6、垂直关系：设平面,的法向量分别为,uv，uv,E是AA1中点，1111DCBAABCD练2正方体平面C1BD.求证：平面EBDxyz已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,、MN分别是、ABPC的中点,并且PAAD,求证:MN平面PDCADBPCMN分析:坐标系容易建立,应考虑用坐标法,解题思路水到渠成.练习32在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O.(1)求证：C1O∥平面AB1D1;(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.自我检评1如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.