立体几何中的向量方法

§8.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离数学川（理）第八章立体几何基础知识题型分类思想方法练出高分1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝.基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．|cos〈m1，m2〉||cos〈m，n〉|基础知识题型分类思想方法练出高分2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝________________________________．(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．〈AB→，CD→〉cos〈n1,n2〉或－cos〈n1,n2〉基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．2．点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝_________.|AB→·n||n|基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测4113330°60°或120°22a155基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一求异面直线所成的角【例1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．解析思维启迪探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一求异面直线所成的角本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解．解析思维启迪探究提高【例1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一求异面直线所成的角(1)证明以D为原点，DD1→、DC→、DA→分别为z轴、y轴、x轴的正向，12|DD1→|为1个单位长度建立空间直角坐标系．解析思维启迪探究提高【例1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．题型分类·深度剖析题型一求异面直线所成的角∴FE1→＝(0,1，－1)，FG1→＝(0，－1，－1)，EE1→＝(－1,0,0)，解析思维启迪探究提高∴FG1→·EE1→＝0，FG1→·FE1→＝0⇒FG1→⊥EE1→，FG1→⊥FE1→，又∵EE1∩FE1＝E1.∴FG1⊥平面FEE1.(2)解由题意知点A的坐标为(2,0,0)，基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．题型分类·深度剖析题型一求异面直线所成的角又由(1)可知EA→＝(1，－2，－1)，E1G1→＝(0，－2,0)，解析思维启迪探究提高∴cos〈EA→，E1G1→〉＝EA→·E1G1→|EA→|·|E1G1→|＝63，∴sin〈EA→，E1G1→〉＝1－cos2〈EA→，E1G1→〉＝33.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一求异面直线所成的角用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cosθ＝|cosα|.解析思维启迪探究提高【例1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．解以A为原点，AB→、AD→、AA1→分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是EC1→＝(1,3,2)，FD1→＝(－4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为β，题型分类·深度剖析则：cosβ＝|EC1→·FD1→||EC1→|·|FD1→|＝1×－4＋3×2＋2×212＋32＋22×－42＋22＋22＝2114，∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为2114.动画展示基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二求直线与平面所成的角思维启迪解析探究提高【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量．求直线与平面所成的角基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高(1)证明以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，则D(0，m,0)，E12，m2，0.求直线与平面所成的角基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高可得PE→＝12，m2，－n，BC→＝(m，－1,0)．因为PE→·BC→＝m2－m2＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)解由已知条件可得m＝－33，n＝1，故C－33，0，0，D0，－33，0，E12，－36，0，P(0,0,1)．求直线与平面所成的角基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高则n·HE→＝0，n·HP→＝0，即12x－36y＝0，z＝0.因此可以取n＝(1，3，0)．又PA→＝(1,0，－1)，所以|cos〈PA→，n〉|＝24.所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为24.求直线与平面所成的角基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．题型分类·深度剖析题型二利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．思维启迪解析探究提高求直线与平面所成的角基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．题型分类·深度剖析(1)证明设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，12)，N(12，0,0)，S(1，12，0)．所以CM→＝(1，－1，12)，SN→＝(－12，－12，0)．因为CM→·SN→＝－12＋12＋0＝0，所以CM⊥SN.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(2)解设平面CMN的法向量为n＝(x，y，z)，则n·CM→＝x－y＋12z＝0n·CN→＝x，y，z·12，－1，0＝12x－y＝0.∴y＝12x，z＝－x，取x＝2，则n＝(2,1，－2)为平面CMN的一个法向量．∴cos〈n·SN→〉＝n·SN→|n|·|SN→|＝2，1，－2·－12，－12，022＋1＋－22·－122＋－122＋02＝－22.∴〈n·SN→〉＝135°，故SN与平面CMN夹角的大小为45°.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥