立体几何中的最值与动态问题

立体几何中的最值问题海红楼立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。一、运用变量的相对性求最值例1.在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为2，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）A.55B.552C.2D.1解析：如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，552OQ中。又P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，等于OQ的长为552，也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。故选B。图1二、定性分析法求最值例2.已知平面α//平面β，AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB与平面α成30°角，则线段CD的长的最小值为______。解析：如图2，过点B作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B作BE//CD交平面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan∠BAO=3·tan30°=3。故3CD。图2三、展成平面求最值例3.如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（）A.2aB.2bC.2cD.a+b+c图3-1解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且''////DABCAD，'//CDAB，A、C、A’共线，D、B、D’共线，BDDDAA2''。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同一点。因而当P、Q、R在S’S上时，RSQRPQPS'最小，也就是四边形PQRS周长最小。又''SAAS，所以最小值''DDSSLbBD22。故选B。图3-2四、利用向量求最值例4.在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。解析：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则)01(xxBP，，，)111(xxGP，，，那么图412234222xxxxPBGP222221021220)1(2xx式子222221021220)1(xx可以看成x轴正半轴上一点（x，0，0）到xAy平面上两点0221，，、02121，，的距离之和，其最小值为221。所以GP+PB的最小值为222212。立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例1.正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.解析：(1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝22ANAM＝22)12(1＝10(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.则MN＝120cos222ANAMANAM＝21312)3(122＝34∵34＜10∴minMN＝34.例2.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a).20(a（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。解析：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴2BFAC,21,21aBQaCP,即2aBQCP,∴22)1(BQCPPQMN)20(21)22()2()21(222aaaa（2）由（1）知:2222MNa时，当，的中点时，分别移动到即BFACNM,,22的长最小，最小值为MN(3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。又46BGAG，所以由余弦定理有ABCDEFGHPMN31464621)46()46(cos22。故所求二面角)31arccos(。例3.如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为)20(。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN,(1)求证:MN//面BCE;(2)求证:MNAB;(3)求MN的最小值.解析：(1)如图,作MG//AB交BC于G,NH//AB交BE于H,MP//BC交AB于P,连PN,GH,易证MG//NH,且MG=NH,故MGNH为平行四边形,所以MN//GH,故MN//面BCE;(2)易证AB面MNP,故MNAB;(3)MPN即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即MPN,设AP=x,则BP=a－x,ＮP=a－x,所以：cos)(2)(22xaxxaxMN22)cos1(21)2)(cos1(2aax，故当2ax时，ＭＮ有最小值a)cos1(21．例4.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x,BN=y,).2,0(yx（1）求MN的长(用x,y表示)；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=x22在PBN中，由余弦定理得：PN2=02245cos2)22(xyyxABFECDPNMxyyx2221，在PMNRt中，MN=xyyxxPNMP2222221)221(1222xxyyx).2,0(yx；（2）MN1222xxyyx31)322(43)2(22xxy，故当322x，32y时，MN有最小值33。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。例5.如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析：设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝22222)cossin(cossinbaab＝222sinabba≥abba22.∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为abba22.例6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴BDDF＝BABD，aDF＝aa2＝21,∴DF＝21a,AF＝23a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+43a+a＝411a,∴截面三角形的周长的最小值为411a.(2)如图2，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF.∴BG＝22EGBE＝22)83(aa＝855a∴SΔBEF＝21·EF·BG＝21·43a·855a＝64553a2.(3)∵VA-BCD＝VB-ACD，而三棱锥B—AEF，三棱锥B—ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即CADBAEFBVV＝ACDAEFSS△△＝22CDEF＝169评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.二、面积最值问题例7.如图1所示，边长AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?解析：易知，ΔABC为直角三角形，由C点引AB的垂线，垂足为Q，则应有DQ为CQ在地面上的斜射影，且AB垂直于平面CQD，如图2所示.因太阳光与地面成30°角，所以∠CDQ＝30°，又知在ΔCQD中，CQ＝512，由正弦定理，有30sinCQ＝QCDQDsin即QD＝56sin∠QCD.为使面ABD的面积最大，需QD最大，这只有当∠QCD＝90°时才可达到，从而∠CQD＝60°.故当遮阳棚ABC与地面成60°角时，才能保证所遮影面ABD面积最大.例8.在三棱锥A—BCD中，ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形，二面角A—BC—D＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。解析：SΔBAC＝SΔBCD＝43a2为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于SΔABD与SΔACD的大小，由于ΔABD≌ΔACD，所以只求SΔACD何时面积取最大值即可。∵SΔACD＝21asin∠ACD，所以当∠ACD＝90°时面积最大，问题得解。解如图，取BC中点M，连AM、DM，∴ΔABC和ΔBCD都是正三角形，∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角，∠AMD＝φ，又∵ΔABD≌ΔACD，且当∠ACD＝90°时，ΔACD和ΔABD面积最大，此时AD＝2a，在ΔAMD中，由余弦定理cos∠AMD＝-31，∴当φ＝π-arccos31时，三棱锥A-BCD的全面积最大。点评本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求ΔACD面积的最大值，间接求得φ角。例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为。分析：本题是截面问题中的常见题，设圆锥的轴截面顶角是α，母线长为l，则截面面积Smax=],2[21)2,0(sin2122ll，本题轴截面顶角为1200，∴最大面积为21。例10、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。分析：设圆柱的底面直径和高分别为d,h,则有：2（d+h）=L,d+h=L/2,S侧=πdh≤π22hd=162l（当且仅当d=h时取“=”）。例11、在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，若G、E分别是BB1、ABCDD1A1C1B1EFGC1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心。则四边形BGEF在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是。分析：可得四边形BGEF在前后侧面上的射影相等且等于41；在左右侧面上的射影相等且等于81；在上下底面的射影相等且等于83，所以射影图形面积的最大值为83。三、体积最值问题例12.如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两