立体几何垂直证明

立体几何垂直证明方法技巧平行证明问题授课教师：吴福炬类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：掌握几种模型①等腰（等边）三角形中的中线②菱形（正方形）的对角线互相垂直③勾股定理中的三角形④直角梯形⑤利用相似或全等证明直角。例：在正方体1111ABCDABCD中，O为底面ABCD的中心，E为1CC中点,求证：(1)1AOOE(2)1AOBDE平面（2）异面垂直（利用线面垂直来证明）例1在正四面体ABCD中，求证：ACBD变式1如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．证明：ADPB；变式2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中BE'ADFG点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿,DEDF折起，使,AC两点重合于'A.求证:'ADEF；变式3如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：AB⊥PC类型二：直线与平面垂直证明方法○1利用线面垂直的判断定理例：在正方体1111ABCDABCD中，,求证：11ACBDC平面变式1：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=3.求证：CD⊥平面A1ABB1；变式2：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABADPCBADE求证：AO平面BCD；变式3如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC∥，90ABC°，PA平面ABCD．3PA，2AD，23AB，6BC1求证：BD平面PAC○2利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，PAABC底面,PACPBC面面，BCPAC求证：面。变式1,在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且PABABCD面底面,求证：BCPAB面类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例:如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点.(1)求证：//AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；例2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，60ABADACCDABC，，°，PAABBC，E是PC的中点．ABCDEFABCDPE（1）证明CDAE；（2）证明PD平面ABE；变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，60ABC，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；类型三：平面与平面垂直证明1.AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，点N为垂足，求证：平面PAM平面PBM2．如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线ＡＣ的中点。求证：平面ＢＥＦ平面ＢＧＤ.3.在直平行六面体AC1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，AB＝AA1.(1)求证：C1O∥平面AB1D1；(2)求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1.4.如下图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.