钢结构稳定-崔佳

.崔佳重庆大学土木工程学院钢结构教研室参考书目《钢结构稳定理论与设计》陈骥，科学出版社；《PRINCIPLESOFSTRUCTURALSTABILITYTHEORY》ALEXANDERCHAJES；《钢结构构件稳定理论》吕烈武等，建工出版社；《弹性稳定理论》铁摩辛科。1概述2轴心受压构件的稳定3稳定分析的近似计算方法4压弯构件弯矩作用平面内的稳定5框架的稳定6受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲7受弯构件的弯扭屈曲8薄板的弹性稳定第1章概述按承载能力极限状态进行设计时，结构或构件的承载能力一般由强度和稳定控制，对钢结构而言，在多数情况下，其承载能力主要由结构的失稳条件控制。实际工程中，结构或构件的失稳形式及稳定承载力的大小受结构形式、荷载作用性质、边界约束条件等各种因素的影响较大，具体问题需要进行具体的分析。1.1构件失稳的类型结构的失稳现象多种多样，按其性质主要有以下几种：（1）轴心受压的理想直杆特点：平衡分枝失稳。当压力未超过一定限值时构件保持平直，只产生压缩变形，有外界干扰时，也能很快恢复到原来的平衡位置；但当压力达到限值Pcr时，偶然干扰将使构件突然产生弯曲，形成在弯曲状态下的新的平衡，称为屈曲（第一类失稳）。极限荷载：极限承载力等于临界荷载Pcr（或屈曲荷载）（2）不平直（或偏心受压）构件特点：从一开始起，构件即产生侧移（产生弯曲变形）。随着压力的增加，构件的侧移持续增大，由于弯曲变形逐步增大，跨中截面可能出现部分塑性区，由于塑性变形的产生，使侧移的增大也越来越快，当压力达到最大值Pmax时，荷载必须下降才能维持内外力的平衡，即具有极值点和下降段，称为极值点失稳，亦称第二类失稳。极限荷载：极限承载力小于屈曲荷载Pcr，等于最大荷载Pmax，Pmax称为失稳极限荷载或压溃荷载。（3）理想的四边支承薄板特点：在中面内的边缘均匀压力作用下，板在最初阶段保持平直。当压力达到某一限值Pcr时，薄板突然产生凸曲（屈曲），由于屈曲后薄板不仅有弯曲，而且还产生了中面的拉伸和压缩（薄膜张力），板内应力发生重分布，荷载向挠度较小的边缘部分转移，形成在弯曲状态下的新的平衡。极限荷载：多利用屈曲后强度，极限荷载Pmax大于屈曲荷载；极限承载力最终取决于受力最大部分的应力达到屈服强度。（4）承受纵向压力的筒壳或承受静水压力的薄壁圆球特点：屈曲后刚度显著降低，荷载必须下降到较低水平才能维持平衡。且原来的平衡形式可能由于一有限量的干扰直接过渡到不相邻的屈曲状态（F点到B点），而不经过平衡分枝点A，属缺陷敏感型。亦称有限干扰屈曲。极限荷载：对有初始缺陷的实际构件，极限承载力总远远小于由理论得出的理想构件的屈曲荷载PE（实际为曲线ODE）。（5）承受横向均布压力的球面扁壳或坦拱特点：对于静载型的均布荷载，最初，随着荷载的增加挠度逐渐加大，结构是稳定的（OA和BC段，AB段不稳定）。当荷载增大到最高点A时，平衡状态发生一明显的跳跃，突然过渡到另一不相邻的具有较大位移的平衡状态C，而不产生平衡分枝，亦无极值点，这类失稳称跳跃失稳。极限荷载：与最高点对应的荷载即是临界荷载，极限承载力Pmax即是此屈曲荷载。1.2稳定的基本计算方法并非处在平衡位置的结构都是稳定的，判断某个状态是否稳定，其最根本的准则是：若对处于平衡状态的体系施加一微小干扰，当干扰撤去后，若体系恢复到原来的平衡位置，则该平衡位置是稳定的；反之，若体系偏离原来位置越来越远，则该平衡位置是不稳定的；最后，如体系停留在新的位置不动，则该平衡状态是随遇的，是介与稳定与不稳定之间的一种过渡状态，即临界状态。结构的实际工作性能可由荷载-位移曲线表示。结构分析的基本方法，就是建立结构变形与荷载之间的平衡关系。当平衡方程按结构变位前的轴线建立时，为一阶（几何线形）分析方法；当平衡方程按结构变位后的轴线建立时，为二阶（几何非线形）分析方法。根据材料的力学性能，又可以分为：一阶弹性分析、一阶弹-塑性分析、一阶刚-塑性分析；二阶弹性分析、二阶弹-塑性分析、二阶刚-塑性分析。稳定问题中，结构变形与荷载之间呈非线形关系，采用的是二阶分析方法。由于钢材材性接近于理想的弹-塑性材料，故一般采用弹性或弹-塑性分析方法。稳定理论常用分析方法（1）随遇平衡法是求解稳定问题的最基本方法，主要用于第一类稳定问题的求解。对于平衡分枝失稳，在分枝点存在两个邻近的平衡状态，一个是原结构的平衡状态，一个是有了微小变形后的平衡状态，随遇平衡法的特点就是根据产生了微小变形后的结构建立平衡方程，通过求解该平衡方程，找出符合边界条件的最小解。例：图示一承受轴向力作用的压杆，按照小变形假定，有：内弯矩：M0=r（r为转动刚度）外弯矩：Me=P=Pl内外弯矩之间的关系可能有三种：r不稳定Pl=r随遇平衡（临界状态）r稳定可取任意值，临界力Pcr=r/l若为有限变形，则其临界状态为Plsin=rPcr=在90°范围内，1，即Pcr（除非趋于零），但影响不大，如=30°时Pcr仅比小变形假定的计算值增加4.72%，说明实用上可略去不计（对轴压杆）。sinlrsinlrPPcr有限变形小变形0（2）能量法—总势能最小原理对于一保守系统（当体系由位置1变到位置2时，外力和内力所做的功与中间过程无关，仅与起始位置有关），设体系在内外力系下处于平衡状态，根据虚功原理，当体系经历一微小的可能位移时，内外力系对此位移所作的总功为零，即：We+Wi=0We——外荷载所作功；Wi——内力所作功。外荷载作功，势能相应降低，因此外力功应等于外荷载势能增量e的负值，即We=e内力功应等于体系弹性势能增量U的负值，即Wi=U因此有e+U=(e+U)=0即=0；=e+U为体系的总势能，表明当体系处于平衡状态时，总势能的一阶变分为零，即总势能应为驻值。这一原理称为总势能驻值原理。总势能驻值原理仅能确定体系的平衡位置，不能对其的稳定性进行判别，必须研究总势能的二阶变分2。从能量角度考虑，A图的平衡位置总势能最小，即二阶变分2为正，处于稳定平衡状态；C图的平衡位置总势能最大，即二阶变分2为负，其平衡位置是不稳定的；而B图的平衡位置，总势能的二阶变分2=0，相当于随遇平衡的临界状态。（3）动力法处于平衡的结构体系，若在某种干扰力的作用后发生绕平衡位置的微小振动，当荷载小于稳定极限值时，加速度和变形的方向相反，一旦干扰撤去，运动趋于静止；此时结构的平衡状态是稳定的；当荷载大于稳定极限值时，加速度和变形的方向相同，即使干扰撤去，运动仍是发散的，此时结构的平衡状态是不稳定的。临界状态的荷载即是屈曲荷载，可由结构振动频率为零的条件求解。（较烦琐，但可用于非保守系统）第2章轴心受压构件的稳定2.1理想轴心压杆的弹性屈曲轴心压杆：只受轴向压力作用且压力通过截面形心的直杆。理想压杆的条件：（1）等截面、双轴对称（失稳时只发生平面弯曲变形）；（2）受荷前完全平直；（3）压力通过截面形心，杆端理想铰接；（4）材料完全弹性；（5）小变形（弯曲曲率）。yyy232)1(1欧拉临界力考虑一理想轴压杆，按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体并建立平衡微分方程。杆件处于临界状态时，内外弯矩相等，即令得yEIMiPyMePyyEI2kEIP02yky上式为常系数线形二阶齐次微分方程，其通解为：A、B为代定常数，由边界条件确定。边界条件得由得即（n=1、2、3……），即当n=1时P最小，即为临界力kzBkzAycossin0coskzB0coskz0B0sinklA0A0sinklnkllnk22lEIPcr00yz0ylz相应的挠曲线方程为：为正弦曲线的一个半波，当时，y=v0，A即为跨中最大挠度v0。故有v0为不定值，在小变形假设的前提下，杆件可在任意v0值的弯曲状态下保持平衡。2lzlzvysin0lzAysinPcrPv0=A2柱的高阶微分方程对其他支承及荷载情况，同样可由内外弯矩的平衡建立平衡微分方程。考虑图示杆件承受一组竖向力系，由脱离体的平衡可得：对上式求导两次可消去等式右端的杆端约束力：VzMFyyEIA0yFyEI令得（1）方程（1）与杆端约束力无关，故能代表各种支承情况，称压杆屈曲的高阶微分方程。（1）式为常系数线形四阶齐次微分方程，其通解为：（2）由（2）式求导可得：（3）（4）（5）2kEIF0ykyDCzkzBkzAycossinCkzBkkzAkysincoskzBkkzAkycossin22)(sincos233CykkzBkkzAky00yz四个积分常数A、B、C、D可由几何边界条件和力学边界条件确定。例：一端铰支一端固定的轴压柱几何边界条件：力学边界条件：00yylz00yz由边界条件得B=0；由得D=B=0挠曲线方程成为：由；得为一关于A、C的线形齐次方程组，为使其有非零解（否则y0），则必有其系数行列式等于零，即：00yzCzkzAysin0ylz0ylz0cos0sinCklAkClklAklkklcossin01l00yz展开得0cossinklklkl即0kltgkl上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为：kl=4.493——称最小特征根故有EIFk2EIFlcr2493.4222)7.0(19.20lEIlEIFcr3柱的计算长度及计算长度系数对其他约束情况，同样可由高阶微分方程计算，如：两端铰支：两端固定：一端铰支一端固定：可统一表示为：称计算长度，为计算长度系数。crF22)7.0(lEIFcr22)5.0(lEIFcr22lEIFcr)5.0()1()7.0(22202)(lEIlEIFcr0l讨论的实质由曲率方程（4）有：若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为z1、z2，即：和代入上式得关于待定系数A、B的线形齐次方程组即应有展开得：即令，得，解得最小值kzBkkzAkycossin220l01yzz02yzz0cossin0cossin2211kzBkzAkzBkzA21sinsinkzkz0coscos21kzkz0sincoscossin2121kzkzkzkz0)sin(12zz120zzl0kl0sin0kl仍得到与欧拉临界力相同的算式：的实质为点z1、z2之间的距离，因这两点弯矩为零，亦即曲率为零，故为反弯点。实际上相当于相邻两反弯点处切出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。0l202lEIFcr0l2.2理想轴心压杆的非弹性屈曲定义单位面积上的临界力为临界应力，即为杆件的长细比，与成反比。显然，欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适用。此时，因可得到与比例极限相对应的长细比，仅与材料有关，如Q235钢，。22202202)(EAIlEAlEIAPcrcrpcrE22ppEp100pcr常用的非弹性屈曲理论1.切线模量理论最早由德国科学家恩格塞尔在1889年提出，认为轴心压杆在弹塑性阶段屈曲时，截面上的应力已超过弹性极限，应用来代替欧拉方程中的E。即内弯矩，Et称为切线模量，此时，杆件处于临界状态时的平衡微分方程为：可解得切线模量临界力切线模量应力202lIEPtt22ttEyIEMtitEdd0PyyIEt2.折算模量（双模量）理论切线模量理论认为压杆屈曲时压力P维持不